泛函数与范数的定义

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1、泛函数-正文又称泛函，通常实（复）值函数概念的发展。通常的函数在 Rn 或 Cn（ n 是自然数）中的集合上定义。泛函数常在函数空间甚至抽象空间中的集合上定义，对集合中每个元素取对应值（实数或复数）。通俗地说，泛函数是以函数作为变元的函数。泛函数概念的产生与变分学问题的研究发展有密切关系。设 为 Rn 中的区域， 1 表示边界嬠 的片断,表示一函数集合。考虑对应,式中 F 为具有2n+1 个自变数的函数: 为寻求 J(u)的局部极值，在一定条件下取 J(u)的加托变分 如果在 u=u0 达到局部极值，则 u0 适合欧拉方程 J(u)=0。在应用中，常以数学或物理的某个微分方程为背景产生一定泛函

2、数，使原问题化成泛函数极值问题。当代分析学中，变分方法有广泛应用。一般把问题化成 Tx=0 的形式，即对应于某泛函数 的欧拉方程，其中 定义在一巴拿赫空间 X 中的开集 S 上且加托可微: 算子 T 称为梯度算子, 称为 T 的场位。人们常遇到二阶微分系统，由此产生二次泛函数极值问题，是当代变分法常见的研究对象。 泛函数 :S 嶅 X R（ X 为拓扑空间）称为在 x S 处下半连续，如果对每个实数r x=0 2. 齐 次 性 :cx=cx, 3. 三 角 不 等 式 :x+yx+y 则 称 Cn 中 定 义 了 向 量 范 数 ,x为 向 量 x 的 范 数 . 可 见 向 量 范 数 是

3、向 量 的 一 种 具 有 特 殊 性 质 的 实 值 函 数 . 常 用 向 量 范 数 有 ,令 x=( x1,x2,xn)T 1-范 数 :x1=x1+x2+xn 2-范 数 :x2=(x12+x22+xn2)1/2 -范 数 :x=max(x1,x2,xn) 易 得 xx2x1n1/2x2nx 定 理 1.Cn 中 任 意 两 种 向 量 范 数 x,x 是 等 价 的 ,即 有 m,M0 使 mxxMx 可 根 据 范 数 的 连 续 性 来 证 明 它 .由 定 理 1 可 得 定 理 2.设 x(k)是 Cn 中 向 量 序 列 ,x 是 Cn 中 向 量 ,则 x(k)-x 0

4、(k ) iff xj(k)-xj 0,j=1,2,n(k ) 其 中 xj(k)是 x(k)的 第 j 个 分 量 ,xj 是 x 的 第 j 个 分 量 .此 时 称 x(k)收 敛 于 x,记 作x(k) x(k ),或 . 三 、 矩 阵 范 数 定 义 2. 设 ,满 足 1. 正 定 性 :X0,且 X=0 X=0 2. 齐 次 性 :cX=cX, 3. 三 角 不 等 式 :X+YX+Y 4. 相 容 性 : XYXY 则 称 Cnn 中 定 义 了 矩 阵 范 数 ,X为 矩 阵 X 的 范 数 . 注 意 , 矩 阵 X 可 视 为 n2 维 向 量 ,故 有 前 三 条 性

5、 质 .因 此 定 理 1,2 中 向 量 的 等 价 性 和向 量 序 列 收 敛 的 概 念 与 性 质 等 也 适 合 于 矩 阵 .第 四 条 ,是 考 虑 到 矩 阵 乘 法 关 系 而 设 .更 有矩 阵 向 量 乘 使 我 们 定 义 矩 阵 范 数 向 量 范 数 的 相 容 性 : AxAx 所 谓 由 向 量 范 数 诱 导 出 的 矩 阵 范 数 与 该 向 量 范 数 就 是 相 容 的 . 定 理 3. 设 A 是 nn 矩 阵 ,?是 n 维 向 量 范 数 则 A=maxAx:x=1= maxAx/x: x0 是 一 种 矩 阵 范 数 ,称 为 由 该 向 量

6、范 数 诱 导 出 的 矩 阵 范 数 或 算 子 范 数 ,它 们 具 有 相 容性 或 者 说 是 相 容 的 . 单 位 矩 阵 的 算 子 范 数 为 1 可 以 证 明 任 一 种 矩 阵 范 数 总 有 与 之 相 容 的 向 量 范 数 .例 如 定 义 : x=X,X=(xxx) 常 用 的 三 种 向 量 范 数 诱 导 出 的 矩 阵 范 数 是 1-范 数 :A1= max |ai1|, |ai2| , ,|ain| （ 列 范 数 ， A 每 一 列 元 素 绝 对值 之 和 的 最 大 值 ）(其 中 |ai1|第 一 列 元 素 绝 对 值 的 和 |ai1|=|a

7、11|+|a21|+.+|ann|,其 余 类 似 ）2-范 数 :A2=( max i(AA) ) 1/2 ( 谱 范 数 ,即 AA 特 征 值 i 中 最 大 者 m的 平 方 根 ,其 中 A为 A 的 转 置 矩 阵 ). -范 数 :A=max |a1j|, |a2j| ,., |ann| (行 范 数 ,A 每 一 行 元 素 绝 对 值 之和 的 最 大 值 )(其 中 为 |a1j| 第 一 行 元 素 绝 对 值 的 和 ， 其 余 类 似 ）Frobenius 范 数 : 它 与 向 量 2-范 数 相 容 .但 非 向 量 范 数 诱 导 出 的 矩 阵 范 数 . F

8、-范 数 :|A|F= ( aij2 )1/2 (F 范 数 ,A 全 部 元 素 平 方 和 的 平 方 根 )四 、 矩 阵 谱 半 径 定 义 3.设 A 是 nn 矩 阵 ,i 是 其 特 征 值 ,i=1,2,n.称 特 征 值 的 绝 对 值 的 最 大 值 为A 的 谱 半 径 . 谱 半 径 是 矩 阵 的 函 数 ,但 非 矩 阵 范 数 .对 任 一 矩 阵 范 数 有 如 下 关 系 : (A)A 因 为 任 一 特 征 对 ,x,Ax=x,令 X=(xxx),可 得 AX=X.两 边 取 范 数 ,由 矩 阵 范 数 的 相 容 性 和 齐 次 性 就 导 出 结 果 . 定 理 3.矩 阵 序 列 I,A,A2,Ak,收 敛 于 零 的 充 分 必 要 条 件 是 (A)1.