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1、第四章 习题课基本内容1线性有界泛函满足 ，线性:fDX()()fxyfxfy若 ， 称 f 有界x|)|M2线性有界泛函的范数|()|supxff|1|1|()s()|xxfff共轭空间（Banach 空间） ， ， ， *nR*()pql*(,)pqLab*H基本定理：延括定理： 是线性子空间， 是线性有界泛函，则GX:fGX，使（）当 时， ；*Fx()Fx（） |XGf两个推论：（） （HahnBanach 定理）设 l.n.s， ， ，则 ，X0xX0*fX， |1f0()|fx（）设 l.n.s， 是线性子空间， ， ，则 ，XG0x0(,)dxG*f满足（） ， ；x()0f（）
2、 ；0()fd（） |13线性有界算子， l.n.s， 线性子空间， 满足1X21DX2:TDX()()TxyTxy4线性有界算子，算子范数5基本定理引理：（开映射原理）：若 ， 是 Banach 空间， ，且1X2 12()TBX，则 T 为开映射2()RX 逆算子定理：设 ， 都是 Banach 空间， 满射，可逆的线12 12:性有界算子，则 T 的逆算子 是有界算子1 闭图像定理：设 ， 都是 Banach 空间， 是闭算1X2 12:()TDX子，其中 是 的闭子空间，则 T 是线性有界算子()D 共鸣定理：设 是 Banach 空间， 是 l.n.s. 是一族12X|iA的线性有界
3、算子，则12X有界 ， 有界|iTA1x|iTxA6强收敛与弱收敛 l.n.s 中的点列的强、弱收敛（）若 ，称 强收敛于 ，记为 ；|0nxnxxnx（）若 ， ，称 （弱收敛） *fX|()|0ff*n 有限维空间中，强弱收敛等价 弱收敛的判别（等价条件）（） 有界；（） （稠密） ，使 ，*nx|n*MX*fM0|()|ff 算子列的各种收敛性：（）一致收敛： ；|0nT（）强收敛： ；|x（）弱收敛： ， ， |()(|nff*2fX1x特别泛函列 ：n（）强收敛： （对应一致收敛） ；|0nf（）弱 收敛： （对应算子列强收敛） *|()|xf7共轭算子设 ， 是同一数域 上的 l.
4、n.s. ， ，如1X212()TBX*21:TX果对任何 ， ，都有x*2f或 *()()Tf(,)(,)xff成立，就称 是 的共轭算子（也称伴随算子） 共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设 ， 是 的共轭算子，则12()TBX*T是 的线性有界算子，且有*T*21X|定理（共轭算子的性质）：（1） ；*()aT（2） ；*212（3） ；*()（4） ,则 12:IX*12:IX8自共轭算子H 是 Hilbert 空间，若 ， 自共轭算子,xyH(,)(,TxyTTh （自共轭算子的充要条件）：H 是复的 Hilbert 空间，T 为自共轭算子， 为实数x(,)T性质：（1）特征值
5、为实数；（2）不同特征值的特征向量正交T1*1XT22投影算子： .（ ， ， ） 0Px0xz0Mz举 例例 1设 是 ， ，则 应21,Xsnl.)(21XTTXBT)(21某个内部非空的有界集为有界集。证： 设 （ 是 的内部）)(01,A0A有界，取 （ ） ， 令 ，2XTAraO)(,0r|supTxA有 ，因此 ,01x),(|1aOx|)|(|raT可以推出rxrxTaxrax /|2/|)|(| 因此 有界。T显然成立。)(例 2设 ， 是 的稠密子空间， 完备，则 唯一)(YABXY的 ，使得 。)(XT|,TT证： ，取 使 。因x,xn)(nx| mm故 是 中的 列；
6、由于 完备，必存在 ，记为 ，nTxYCauchyYnTxlimx这与 的选取无关（事实上，若 ，取)(Axnn， ，则 为 列， ，则,21xynxyTyCauchyxn） ，这样就定义了一个算子 ， 显然是线性的，且Tx YX:T。由A |lim|li| xTTxnnn 故 ，故 。| )(YXB因 ，|, xxA故 ， 因此 。|T|T若有某 亦满足 则 ，取 ，使)(YXBS,SAXx,Axn，则 ，因此 （唯一性得证） 。xnxnlim例 3设 ， ， ，则存在无界线性,.sldim0Y算子 。YXT:证： ， 可取线性独立的可数集 可设di,XxAn取 ，定义算子 ：,1|nxy,
7、0Tnyx可以自然的扩张到 （如 。TSpanA ), YxTySpay 则 可以表示 ， 定义 ，则XBx0TxT是一线性算子， ，因)(YXT |sup|s|sup1| nyxnx故 是无界算子。例 4设 ， 。证明 ),0,(21 nnxxT2lxn，求 。)(2lBTn|n证： 显然。 因此)(2ln|xTn |),0,(21 nx|,x。1|n另一方面，设 是 的标准正交基，则 |ne， ，故ie2l neT= ， 故 ，故 。|ne|nnTT1|1| 例 5给定 ，令 （ ，证明 .)(snlXaTa)()(XB求 。),(B|解：此题中， 是固定的， 成了“自变量” ，（)()(
8、)( STSaTST )(,XBT可见 是线性算子。由:XB|)(| a)(XB得 ； 。|aB)(取 ，得 IT | IIIa； 。|例 6 设 是 空间， 是一个单射，存在YX,Bnch)(YXBT，使得 ，证明 在 中不是闭的。xn )(|1| NxTnR证： 用反证法。若 在 中闭，则 作为 的子空间是一个)R)(空间，于是 是一个线性等距同构（ 是单射，Bach(:XT） ，由逆算子定理知， ，这与以下事2121,Txx )(1XRBT实相矛盾。.|)(|1nnxx例 7设 是 设 ， ， ，证明X,.slXk*f1|)(|kkxf。1|)(|kkfMxf证：定义算子 均为 空间）
9、， 。lXT*:,*Banch)(kxfT若在 中 ，在 中 ，则必有 =*fn )(knfknf。于是由闭图像定理知),(NknakaF，即得证。 ，故 ，),(*lXBTMT| *Xf即 。.|fMf1|)(|kkfxf例 8设 是 空间， 是 ， ，anchY,.snl )(YBTn|)(|supxTfn（ ） ，证明 。*,YfX|supn证： ，由 ，则 。x|)(|sxTfn|sup1xTn（事实上， ， 是有界的， ，使 （*f| 0fCfnCf|)(|与 有关，而与 无关） ，作映射 ，fC *)(:Yx然后再对 应用共鸣定理可得 。nT|supnT例 9 设 是一非零线性泛函，证明：RXf:（1） 有界 是闭子空间；)(fN（2） 无界 。f证： 。,0Xf)(（1） 若 有界，则 连续，因而 是闭集（设f )0()(1fN，则0),(xfNcnn，lim)(lilim0nfxf ).(0fNx（2） 反之，若 无界，则 ，使 。fXx|(|nnf今证 （这会推出 非闭，因而问题得证） 。XfN)( )(fN，有 x)(fxfynn（ ） ，0)()(nnfxff |xyn，0|)(|)(| nxfxfn这表明 ，故 。)(fNXf)(
