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1、I学号：本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目： 反常积分与无穷级数收敛关系的讨论 作 者： 院 系： 专 业： 班 级： 指 导 教 师： 2015 年 5 月 17 日NO.：200X2XX40XXXHuanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic ： Author ： College ： Specialty ： Class ： Tutor ： May 17th, 2015郑重声明本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为
2、，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 特此郑重声明！指导老师(手写签名) ：论文作者(手写签名) ：年 月 日摘 要本文从反常积分的背景出发，介绍了反常积分的定义，性质和收敛性判别法.此外,本文对反常二重积分的一些简单问题以及反常积分在现实中的简单应用进行了讨论.最后，本文还叙述了无穷积分与无穷级数之间的联系与差别.关键词：反常积分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数AbstractFrom the background of the improper integral, this paper introduces the definition, properties and c
3、onvergence criterion. In addition ,it discusses some simply questions of improper double integral, as well as a simple application in the real of improper integral. Finally, the paper also describes the ties and differences between infinite integral and infinite series.Key words：improper integral, m
4、athematical analysis, method of substitution,improper double integral, infinite series目 录第 1 章 绪论 .11.1 反常积分的背景 .11.2 反常积分的定义 .1第 2 章 反常积分的性质和其收敛判别法 .32.1 反常积分的性质 .32.2 反常积分的收敛判别方法 .4第 3 章 反常二重积分的简单讨论 .63.1 反常二重积分的定义 .63.2 反常二重积分的性质 .7第 4 章 反常积分的计算和收敛性判别的举例 .94.1 反常积分的计算和收敛性判别的举例 .94.1.1 反常积分的计算举例 .
5、94.1.2 反常积分的收敛性判别举例 .114.2 反常积分在现实中的简单应用 .13第 5 章 无穷积分与无穷级数的联系与区别 .155.1 无穷级数的简单介绍 .155.2 无穷积分与无穷级数的联系 .175.3 无穷积分和无穷级数之间的区别 .20第 6 章 结束语 .21第 7 章 致谢 .22参考文献 .23反常积分与无穷级数收敛关系的讨论第 1 页 共 23 页第 1 章 绪论1.1 反常积分的背景Riemann 积分要求积分区间 有限且被积函数 在该区间上有界.但在实际的应用（特,ba)(xf别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证
6、我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分.首先由一个例子引入：设地球的半径为 R,质量为 M根据万有引力定律知,地球对距球心人 处质量为 物体rRM的引力为： .2()/FxmgRx特别,当 , ,因而 .rRFmg2/G考虑将质量为 的火箭从地面 发射到 引力所作的功.Mrrx利用微元法,并且由 W 与 F(r)之间有关可得dW=F(r)dr.因此,22()(1/)rRFdmgRx则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为li()rRxW假设以速度 发射,它得到的动能为 要使它飞出地球引力范围,则必须0v20/v01.2/mgkms1.2 反常积分
7、的定义定义 11：设函数 定义在无穷区间 上,且在任何有限区间 上可积,)aau如果存在黄冈师范学院本科生毕业论文第 2 页 共 23 页极限 uaJdxf)(lim(1)则称此极限 J 为函数 在 上的无穷限反常积分（简称无穷积分） ,记作 f,)a,并称收敛.()aJfxd(axd如果极限 不存在,为方便起见,亦称()afxd发散. 定义 2： 设函数 定义在 上,在点 的任一右邻域内无界,但在任何内闭区f(ab间 上有界且可积 ,如果存在极限 ,则称此极限为无界函数,(,ubalim()buafxdJ在 上的反常积分,记作 ,并称反常积分收敛,如果极限f ()baJfxd()bafxd不
8、存在,这时也说反常积分发散.()baf反常积分与无穷级数收敛关系的讨论第 3 页 共 23 页第 2 章 反常积分的收敛判别法2.1 反常积分的性质（一）无穷反常积分的性质(1) 在区间 上可积 , 是常数 , 则函数 区间 上可积, )(xf)ak()kfx)a且.()aafxdd(2) 和 在区间 上可积 , 由此 在区间 上可积,()fxg)()fgx)a且 . ()(aaafxgddx(3) 无穷积分收敛的 Cauchy 准则:若积分收敛，则 .()afxd0,()Afxd有（二）瑕积分的性质(1) 在区间 上可积 , 是常数 , 则函数 区间 上可积, 且)(xf(,abk()kfxab.()bbaafxdd(2) 和 在区间 上可积，由此 在区间 上可积,且()fxg(,()fxg(ab. ) ()bbbaaafxgddx黄冈师范学院本科生毕业论文第 4 页 共 23 页2.2 反常积分的收敛判别方法(一) 比较判别法: 设在区间 上函数 和 非负且,)a()fx()g,又对任何 ， 和 在区间 上可 积 ， 若fxgA(fxg,aA，则 ；若 ，则()ad )ad
