《2.3数学归纳法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.3数学归纳法（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 数学归纳法,法国数学家费马观察到：,于是他用归纳推理提出猜想： 任何形如 的数都是质数（费马猜想）,都是质数，,1,2,3,4,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法,像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。,一、概念,1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如费马猜想。 用完全归纳法得出的结论可靠，可不便操作。,提出问题：如何找到一个科学有效的方法证明结论的 正确
2、性呢？,数学归纳法的定义,设pn是一个与自然数相关的命题集合，如果（1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成立，那么可以断定。pn对一切正整数（或自然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。,引例1:已知数列an中，a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜想an的通项公式,由题中条件可知： a1=_, a2=_ a3=_, a4=_ 猜想： an=_,1/3,1,1/4,1/n,1/2,思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？,多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距
3、排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。,多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。,例题1,例题1：已知数列an中，a1=1,an+1=an/(an+1), 用数学归纳法证明：对所有的 正整数n,有an=1/n,a1=1成立,假设ak=1/k成立,若证出 ak+1=1/(k+1)成立,命题an=1/n成立,命题成立,类比,对于由不完全归纳法得到的某些与正整数n有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立; （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立 证
4、明当n=k+1时命题也成立. 根据由(1),(2)可知道，命题对从n0开始的所有正整数都成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法,数学归纳法与自然数有关的命题的两个步骤,【假设推理过程】,【验证过程】,【下结论】,证明： （1）当n=1时，左边121，右边 等式成立。,例题2：用数学归纳法证明,（2）假设当n=k时，等式成立，即,那么： 左边=12+22+k2+(k+1)2,右边,即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知命题 对任何nN都成立。,重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。,练习1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1
5、)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是( ) A1 B13 C123 D1234 答案 C 解析 当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.,答案 D,答案 B,例3 用数学归纳法证明：,例3 用数学归纳法证明： 证明 （1）当n=1时，等式左边 等式右边 所以等式成立. （2）假设n=k（kN+）时等式成立， 那么当n=k+1时，,即n=k+1时等式成立. 由（1）（2）可知，对任意nN+等式均成立.,点评 证明过程的关键是第二步由nk到nk1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形,已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)， (
6、1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式； (2)用数学归纳法证明an的通项公式 解析 (1)a2S1a15， a3S2a1a210， a4S3a1a2a3551020， 猜想an52n2(n2，nN*),完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法,不完全归纳法 解释：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳推理。 不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理.,费尔马,(费马猜想),结论是错误的。,
