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1、第 0 讲 数学是什么课时题目：数学的内容在历史上的沿革课时目标：数学在各个历史时期的不同理解教学难点：社会科学、自然科学的发展推动着数学演变，到如今发展出庞大的分支课时安排：1 课时贯穿本课程各讲的思考主题：数学是什么对于这个问题，建议同学们做一个小小的成长记录：学习本课之前，请同学写下自己的回答。学习本课十八讲之后，再写下自己新的回答，看看自己对数学认识的变化。数学是什么数学是数量的科学。 数学是研究事物的数量关系和空间形式的一门科学。 -恩格斯 数学是研究模式的科学。数学的本质特征就是，在对模式化的个体进行抽象的过程中对模式进行研究，数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术
2、。 -怀海特 数学是定义的科学。数学是语言的语言。数学一种工具，是研究自然的工具。 数学是一种思维方式，可看作人类一种思维的自由创造，一种发明。数学是无穷的科学。 赫尔曼。外尔数学是一种艺术。数学是一种文化，数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。 数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。数学也不是理论的缔造者，因为它不是假说。但数学却是规律和理论的裁判和主宰者，因为规律和假说明自己的主张,然后等待数学的裁判。如果没有数学上的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。 数学不是占数术。数学的证明或反证明的理念都要在逻辑之中进行，而占数术却不是如此。 数学不是会计学。虽然会
3、计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要，但对会计师毫不重要。现代数学的分支如果我们将17世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么它与从那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。有一种观点认为，现在应该说数学是从微积分开始，而不是以此为结束。到了18世纪末，数学已如同一棵根深蒂固的参天大树，扎根于现实之中已有两千年之深，它威风凛凛的枝条覆盖了所有其他知识体系，无疑，这棵大树将永远生存下去。数学主题分类表 （MCN 2000 美国数学会）总论 32 多复变量与解析空间 58 大范围分析，流
4、形上的分析01 历史与传记 33 特殊函数 60 概率论与随机过程03 数理逻辑与基础 34 常微分方程 62 统计学05 组合论 35 偏微分方程 65 数值分析06 序，格，有序的代数结构 37 动力系统和遍历理论 68 计算机科学08 一般代数系统 39 差分方程与泛函方程 70 质点和系统力学11 数论 40 序列，级数，可求和性 74 变形固体力学12 域论和多项式 41 逼近与展开 76 流体力学13 交换环和交换代数 42 付立叶分析 78 光学，电磁理论14 代数几何 43 抽象调和分析 80 经典热力学，热传导15 线性代数和多重线性代数，;矩阵论44 积分变换,算子演算 8
5、1 量子理论16 结合环与结合代数 45 积分方程 82 统计力学,物质结构17 非结合环与非结合代数 46 泛函分析 83 相对论和引力理论18 范畴论，同调代数 47 算子理论 85 天文学和天体物理学19 K-理论 49 变分法与最优控制;最优化 86 地球物理学20 群论及推广 51 几何 90 运筹学，数学规划22 拓扑群，Lie 群 52 凸几何与离散几何91 对策论，经济，社会科学和行为科学26 实函数 53 微分几何 92 生物学和其它自然科学28 测度与积分 54 一般拓扑学 93 系统论;控制30 单复变函数 55 代数拓扑学 94 信息和通讯,电路31 位势论 57 流形
6、和胞腔复形 97 数学教育“数学”名称的由来“数学”一词来自希腊语，是古希腊人最先使用的，它意味着某种“已学会或被理解的东西”或“已获得的知识” ，还有“可学会的东西” ，即“通过学习可获得的知识” 。 “数学”名词的这些意思与梵文中的同根词意思相同。之后古希腊喜欢研究哲学的学者，很早就在思考数学是如何产生的，数学知识与其他的知识的关系又是怎样的？这样一些哲学的问题。他们最先占有了猜想这一思考领域。其实“数学”一词从表示一般的知识到表示数学专门的知识，经历了一个比较漫长的过程，它是到亚里士多德时代才完成的，而不是在柏拉图时代。数学名称的专有化其意义十分深远，在当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化
7、才能与数学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西” ， “诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到过诗歌，也没有提到数学。但是数学名称的专有化的确受到人们的注意。柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事费德洛斯篇中是这样描述的：“故事发生在古埃及的洛克拉丁区域，在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯，对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等” 。第一个用完全概念化的语言谈论数学的是亚里士多德，从他开始，人们才谈论统一的、有着自己发展目的的数学。亚里
8、士多德在他的形而上学第卷中说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：1. 存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子。2. 知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点。就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。而亚里士多德的逻辑方法则是介于二者之间的，他认为，在一般的意义上讲，他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在
9、”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论。数学名称的产生和出现反映了古希腊人某些富于创造的特性。亚里士多德提出， “数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法。对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式” 。事实上，从公元世纪的拉丁作家格利乌斯和公元世纪的希腊哲学家波菲利以及公元世纪的希腊哲学家扬布利科斯的某些证词中看出，当时毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程” ，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者” ，正式成员称为“数学家” 。这里“数学家”仅表示一
10、类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔培根通过提倡接近科学的“实体论” ，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而 20 世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。在 1
11、8 世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识” ，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的证据。附录：论数学的起源冯诺依曼讨论任意领域中智力活动的性质是一件困难的任务，对处于人类智能中心领域的数学就更是如此。对人类智能的性质作一般的讨论，从本质上来说是困难的，它在任何情况下总比只涉及那些特殊范围的智能的讨论要更为困难。理解飞机的结构和升力、推力的力学原理，
12、比乘坐飞机、以至驾驶它要更为困难。在没有以直观的和经验的方式获得某些知识之前，在没有预先了解、熟悉以及驾驶过飞机之前，人们就能理解原理及其过程，这是罕见的。在数学领域中，这种讨论如果以一种非数学的方式进行的话，限制将更为苛刻。讨论必然会显示出某些不良的特性，得到的结果所依据的材料决不可能充分；相反，面面俱到的肤浅的讨论却不可避免。尽管我甚至意识到，我将要提出的说法有不少短处，但是很抱歉我还是得说下去。此外，我准备表述的观点，也完全可能不为许多其他数学家所赞同。你可能获得一个人为的不太系统的印象和解释。我提出的看法，对这些讨论究竟有多少价值，也许是很小的。在我看来，刻画数学特点的最有力的事实，是
13、它和自然科学的特有联系。或者更一般地说，它和任何一类比处于纯粹描述水准更高级一些的、能对经验作出解释的科学的特有联系。大多数数学家和非数学家将会同意，数学不是一门经验科学，或者至少可以说它不是以某种来自经验科学技术的方法实现的，但是它的发展和自然科学却紧密相联。它的一个主要分支几何学，实际上起源于自然科学、经验科学。某些现代科学中最大的灵感（我认为是最大的）清楚地来源于自然科学，数学方法渗透和支配着自然科学的许多“理论”分支。在现代经验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链，它们都被打上数学的标志，
14、几乎和科学进步的理念是一致的，这也变得越来越明显了。生物学变得更受到化学和物理渗透，这些化学是实验和理论的物理，而物理是形式甚为数学化的理论物理。有一个甚为特殊的数学性质的两重性，人们必须理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主题中去。这种两重性是数学的本来面目，我不相信无需牺牲事物的实质，就可能简化和单一化对事物的看法。 因而我并不试图为你提供一种单一化的模式，我将尽可能地，描写数学所具有的多重现象。无可否认，在人们能想象的那部分纯粹数学中，某些最为激动人心的灵感来自自然科学，我将提及两个最值得纪念的事实。 第一个例子是几何学。几何学是古代数学中的一个主要部分，现在仍然是现代数学中几个
15、主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是经验的，它开始成为一门学科并不像当今的理论物理。离开这些迹象，就很难说“几何学”是什么了，欧氏的公理化处理是几何学脱离经验向前跨出一大步的标志，但是它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终的一步。欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求，当然这不是主要的方面。最本质的是某些无疑是经验的学科，如力学和热力学，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的处理。然而所有这些都很难超出欧几里得的程序。尽管自欧几里得以来，在使几何学与经验脱离方面已经逐步地取得了进展，但是哪怕在今天，它也没有变得十分完备。非欧几何学的讨论提供了这方面的一个好
16、的说明。广义相对论的发现，迫使人们对关于几何学相互关系的观点进行修正。这种修正是在全新的背景下进行的。最后，人们就能接触到一幅完成了的可供比较的图景。这最后的进展是由这样一代人完成的，他们看到了欧氏公理方法已被现代公理派逻辑数学家处理成为完全非经验的和抽象的。这两种表面上似乎是冲突的态度，完美地合并成一种数学思想；因此，希尔伯特在公理几何学和广义相对论方面都作出了重要的贡献。第二个例子是微积分，或者说是由它生成的数学分析。微积分是近代数学的最早的成果，它的重要性怎样评价都不过分。微积分的起源显然是经验的，开普勒尝试着做的最早的积分，被叫做小桶的量度即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化的
