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1、第 1章 控制系统的状态空间表达式现 代 控 制 理 论主讲：窦立谦本章结构 第 1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5 状态变量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论1.1 状态变量及状态空间表达式1 状态描述一个系统得过去、现在和将来的状况2 状态变量足以表征系统运动状态的 最小个数 的一组变量为状态变量( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )1 1 1 1 ( 1 . 1
2、 1 )n n n nn n o n ny a y a y a y b u b u b u b u 注 1.1-1： 一个用 n阶微分方程描述的系统，有 n个独立变量，当这 n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。例如微分方程：注 1.1-2： 状态变量的个数等于系统 独立储能元件 的个数。1.1 状态变量及状态空间表达式3 状态矢量如果 n个状态变量用 表示，并把这些状态看作是 的分量，则 就称作状态矢量：4 状态空间12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t()xt ()xt12()()( ) ( 1 . 1 2 )()nxtxtxtxt 以状态变量 为坐
3、标轴构成的 n维空间，称为状态空间。随着时间的推移， 将在状态空间中描述出一条轨迹，称为状态轨迹。12( ) , ( ) , ( )nx t x t x t()xt1.1 状态变量及状态空间表达式5 状态方程描述系统 状态与输入 之间关系的一阶微分方程组：6 输出方程( ) ( ) ( ) ( 1 . 1 3 )x t A x t B u t 描述系统输出与 状态、输入 之间关系的表达式：( ) ( ) ( ) ( 1 . 1 4 )y t C x t D u t 7 状态空间表达式状态方程 +输出方程，构成一个系统完整的动态描述：( ) ( ) ( ) ( 1 . 1 5 )( ) ( )
4、( )x t A x t B u ty t C x t D u t 1.1 状态变量及状态空间表达式例 1.1-1 求 R-L-C电路的状态空间表达式，输出为电容两端电压图 1.1-1 R-L-C电路1 选择状态变量例题 1.1 【 解答 】状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容 C两端电压，和流经电感 L的电流。121( ) , ( ) ,( ) , ( )CLCx t u x t i iu t y t u x 状 态 ：输 入 ： 输 出 ：1.1 状态变量及状态空间表达式2 列写一阶微分方程例题 1.1-1 【 解答 】3 列写状态方程和输出方程CCduCidtdiL Ri u u
5、dt 111CCuiCRi u i uL L L （ 1）状态方程1 2 1( ) , ( ) , ( )C L Cx t u x t i i y t u x 122 1 2111xxCRx x x uL L L 112210011xx CuRLLL x A x B u1.1 状态变量及状态空间表达式例题 1.1-1 【 解答 】3 列写状态方程和输出方程（ 2）输出方程1Cy u x 1210 xy x 4 列写状态空间表达式x A x B uy Cx D u 100, 111 0 , 0CABRLLLCD 1.1 状态变量及状态空间表达式例题 1.1-2试列写图 1.11所示机械旋转运动模
6、型的状态空间表达式。设转动惯量为 J。图中 K为旋转轴刚性系数； B为粘性阻尼系数； T为施加于扭转轴上的力矩( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x t Ax t Bu ty t C x t Du t1.1 状态变量及状态空间表达式8 状态空间表达式的一般形式状态矩阵 输入矩阵直接转移矩阵输出向量输出矩阵状态向量输入向量1.1 状态变量及状态空间表达式8 状态空间表达式的一般形式 1 11 12 1 12 21 22 2 21212,nnn n nn nnnx a a a bx a a a bx A Ba a a bxC c c c D d （ 1） SISO( ) ( ) ( )(
7、) ( ) ( )x t Ax t Bu ty t C x t Du t（ 2） MIMO1 11 12 1 11 12 12 21 22 2 21 22 21 2 1 211 11 12 12 21 22 2212,nrnrn n nn n n nrnnnm m m nmrx a a a b b bx a a a b b bx A Ba a a b b bxyu c c cy c c cuu y Cc c cyu 11 12 121 22 212,rrm m m rd d dd d dDd d d 1.1 状态变量及状态空间表达式9 状态空间表达式系统框图BADCuyx+注 1.1-3： 从
8、状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法既表征了输入对系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。所以 状态空间表达式是对系统的一种完全描述 。( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x t Ax t Bu ty t C x t Du t本章结构 第 1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5 状态变量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论1.2 状态空
9、间表达式的模拟结构图1 作用采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。2 三类基本框图 1x 2x 21 xx +加 法 器积 分 器)( tx )( tx )( tx )( txkkkxkxxx放 大 器1.2 状态空间表达式的模拟结构图例 1.2-1 设一阶系统状态方程为 则其状态图为x ax bu例 1.2-2 设三阶系统状态空间表达式为12233 1 2 3136 3 2xxxxx x x x uy x x 1.2 状态空间表达式的模拟结构图+ - 2- 3- 6x1x2x3u y本章结构 第 1章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态变量及状态空间表达式1.2 状态空间表
10、达式的模拟结构图1.3 状态空间表达式的建立（一）1.4 状态空间表达式的建立（二）1.5 状态变量的线性变换1.6 从状态空间表达式求传递函数1.7 离散时间系统的状态空间表达式1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论1.3 状态空间表达式的建立（一）1 由系统框图建状态空间表达式用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有 3种途径：（ 1）由系统方块图来建立（ 2）从机理特性出发建立（ 3）由高阶微分方程和传递函数建立例 1.3-1 系统方块图如下，输入为 u，输出为 y，试求其状态空间表达式1.3 状态空间表达式的建立（一）例 1.3-1 系统方块图如下，
11、输入为 u，输出为 y，试求其状态空间表达式例题 1.3-1 【 解答 】求解步骤：1 选择状态变量2 列写状态方程3 列写输出方程4 写成状态空间表达式1.3 状态空间表达式的建立（一）例 1.3-1 系统方块图如下，输入为 u，输出为 y，试求其状态空间表达式1 选择状态变量每一个方块的后面， 除比例环节 。2 列写状态方程3 列写输出方程4 列写状态空间形式x3 x2 x11.3 状态空间表达式的建立（一）例 1.3-2 系统方块图如下，输入为 u，输出为 y，试求其状态空间表达式例 1.3-3 系统方块图如下，输入为 u，输出为 y，试求其状态空间表达式1.3 状态空间表达式的建立（一
12、）例 1.3-3 系统方块图如下，输入为 u，输出为 y，试求其状态空间表达式z-p1.3 状态空间表达式的建立（一）2 从机理特性出发建状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。CR1 R2L1 L2y ( t )F ( t )K f弹簧 -质量 -阻尼器系统电路系统系统1.3 状态空间表达式的建立（一）例 1.3-4 如图 1.3-4所示的电路，试以电压 u为输出，以电容 C上的电压 uc为输出变量，列写其状态空
13、间表达式CR1 R2L1 L2图 1.3-4 电路系统系统例题 1.3-4 【 解答 】1 选择状态变量电路的贮能元件有电感 L1， L2和电容 C。考虑到 i1、 i2、 uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。1.3 状态空间表达式的建立（一）2 列写状态方程根据基尔霍夫定律列写电路方程CR1 R2L1 L22221121222111110idtduCuiRiRiRdtdiLuiRiRdtdiLcc22222122121211111111iCdtduLuiLRRiLRdtdiuLiLRiLRdtdicc现在令 x1=i1， x2=i2， x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程 11111111 1 2222 2 2330 1100100RRLLLxxR R Rx x uL L LxxC 1.3 状态空间表达式的建立（一）3 列写输出方程 CR1 R2L1 L2由于前面已指出电容上的电压 uc为输出变量，故系统的输出方程为 321100xxxy4 整理成状态空间表达式111111 1 22 2 20 11, 0 , 1 0 0 0100RRLLLR R RA B CL L LC x A x B uy C x1.3 状态空间表达式的建立（一
