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1、1线性代数（专）复习大纲第一章 行列式一、考试要求及内容1了解行列式的定义，2理解行列式的 k 阶子式，k 阶子式的余子式，k 阶子式的代数余子式，3熟悉掌握行列式的性质4会计算行列式的值行列式的计算方法1）化 为上（下）三角形行列式nD2）将行列式按某一行（列）展开3）将行列式按 行（列）展开，即利用拉普拉斯定理k注意：对角线法则只适用 2.3 阶行列式.二、练习题1. 计算下列行列式的值1） 132+2 13+3213331112221822、设 ，则113223a11213233aa3、行列式 =|1 1 22 0 10 2 1|4、行列式 = 5、 =|3 2 22 3 22 2 3|
2、 7432106、 =|1 1 20 2 12 0 1|第二章 矩阵2一、考试要求及内容1. 了解矩阵的概念。 2. 掌握矩阵的加（减）运算。数乘矩阵，矩阵的乘法及矩阵的转置。注意：一般 1） 2) 3） 或BACBA 0AB0B3. 理解方阵行列式的概念，方阵行列式的性质 。kn4. 理解逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件，会求可逆矩阵的逆矩阵，会解矩阵方程。逆矩阵的求法(1)公式法 二阶方阵 A1 21aA122aA(2)初等变换的方法 ),(),( E变行（3）若 A( )=E （ 或（ ）A=E ） 则 A 可逆，且 ( )1（4）特殊形式矩阵的逆矩阵 若 其中 均可
3、逆，21021,则120A5. 理解矩阵的秩的概念，有关秩的结论，会求矩阵的秩有关秩的结论1) 2）,min)(0Ar )(ArT3) 0kk4) 可逆 可逆 则mPnQnm()()(rPAQrr矩阵的秩的求法1)用定义 2）用初等变换方法将 （ ）阶梯形初 等变 换阶梯形中非零行的行数.)(Ar3二、练习题1、设 A = ， B = 则 AB = (1 1 10 1 20 0 3) (1 10 11 1)= 2. 设 求 5302147A,A13. 设 求7414. 设 A = 求 ：矩阵 B ，使得 AB-A=2B(3 1 10 3 10 0 3)5. 设 3 阶方阵 A 且 ，求 132
4、A6、设 为 阶方阵且 ，则 nTE7、设 ，则2105347A1A8、设矩阵 的秩为 ，则必有（） 。12ab3（A） 或 （B） 且 4a34a3b（C） 且 （D） ，b 9、设 n 阶方阵 ,且满足 ,证明 A+E 可逆,并求 .AO230AE1()AE10、设 A = 求 ：矩阵 B ，使得 AB-(4 1 10 4 10 0 4)A=3B4第三章 维向量n一、考试要求及内容1. 理解 n 维向量的概念，向量的线性运算。2. 理解向量组线性组合，线性相关，线性无关的定义，会判定向量组的线性相关性线性相关性的判定方法判定向量组 的线性相关性12,m方法 1. 用定义：令 代入已知条件，
5、解出021mkkmk,21若 有非零解则线性相关,若只有 则线性无关021mkk方法 2. 用矩阵的秩 令 或mA21mA,21求出 若 则线性相关)(Ar)(若 则线性无关m特别是 个 维向量作成行列式 线性相关 n 0线性无关3. 理解向量组的极大无关组的概念，向量组的秩的概念，会求向量组的秩。向量组秩的求法：求向量组 的秩 m,21方法 1 . 用定义(比较麻烦) 方法 2. 用矩阵的秩 令 mA21或 ),(215求出 则 向量组的秩)(Ar)(r二、练习题1. 判定向量组 的线性相关性.123,3,5,72. 问 k 取何值时，向量组 =（1，1，1） ， =（ 2，k ，2） ，
6、=（2，3，4）线1 2 3性相关，又为何值时线性无关？3. 求向量组 =（1，1，1，0） ， =（2，3 ，4 ，2） ， =（2，1，3，2） ，1 2 3=（3，2，4，2）的秩，并求出它的一个极大无关组。44.设向量组 线性无关，又向量组321,32132证明 线性无关。,5、求向量组 ， ， ， 的秩。1,2,34531,0240,136、问 a，b 为何值时，向量组 =（a，1，1） ， =（1，2b，1） ，1 2=（1，b，1）线性相关，又取何值时线性无关？3第四章 线性方程组一、考试要求及内容1. 理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件。2. 理解齐次线性方程组解向量的性质
7、，基础解系的概念，会求齐次线性方程组的基础解系及通解。63. 理解非齐次线性方程组解向量的性质，解的结构会解非齐次线性方程组，会用基础解系表示非齐次线性方程组的全部解。对于 永远有解至少有 0 解01nAX唯一零解r)(有非零解当 时 唯一零解， 有非零解nm0A0A定理对于 当 必有基础解系，且基础解系中含有1Xnr)(个解向量r对于 1nA0无解 有解 唯一解 )(rrAr)(nr有无穷多解二、练习题1. 设五元齐次线性方程组 ，系数矩阵 A 的轶为 2，求它的基础解0X系含有解向量的个数2. 求齐次线性方程组 的基础解系及通解。1+23+24=031+42+234=051+62+34=0
8、 3. 求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）1+2+3+4=631+42+63+54=851+62+83+74=20。4、设 元齐次线性议程组 ，系数矩阵 的秩 ，则其基础解系含70AXA3r有（）个解向量。（A） （B） （C） （D ）43217第五章 方阵的相似对角形一、考试要求及内容1. 了解特征值，特征向量的概念、性质。会求方阵的特征值与特征向量。2. 理解相似矩阵的概念、性质。3. 掌握方阵 的充要条件，会求可逆 ，使得 为对角形。ACA14. 了解向量的内积的概念，向量长度的概念，会将非零向量单位化，掌握施密特正交化的方法，了解正交矩阵的概念，性质。5. 理解实对称矩阵
9、的性质，会求正交矩阵 ，使得 为对角形。QT特征值的性质设 为 的特征值 则 的为 的特征值0A0kA若 可逆 则 为 的特征值011为 的特征值0k1A施密特正交化的方法 设 线性无关 令 123,1212(,)2331,(),则 , 2, 为正交向量组13再单位化 令 , 则 , 为标准正交向量组1r23r1r23实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的二、练习题1. 设三阶方阵 A 的 3 个特征值为 1，2， -4，则 的三个特征值为1A._2. 设矩阵 求 的线性无关的特征向量301A3. 设 A = ，求正交矩阵(2 3 33 2 33 3 2)Q，使得 为对称形。84. 设 求正交矩阵 Q,使得 为对角形 .21,ATQA5. 设 A 为 n 阶可逆方阵，证明 =| |1
