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1、第十四章波动141 如本题图所示，一平面简谐波沿 ox 轴正向传播，波速大小为 u，若 P 处质点振动方程为 ，求：（1）O 处质点的振动方程；（2）该波的波动方程；)cos(tAyP（3）与 P 处质点振动状态相同质点的位置。解：（1）O 处质点振动方程：y0 = A cos （ t + L / u）+ （2）波动方程y0 = A cos t- （x - L ）/ u+ （3）质点位置x = L k 2 u / （k = 0 , 1, 2, 3） 142 一简谐波，振动周期 T=1/2s，波长 10m ，振幅 A=0.1m，当 t=0 时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波
2、源重合，且波沿 ox 轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）t 1T/4 时刻，x 1=/4 处质点的位移；（3）t 2 T/2 时刻，x1=/4 处质点的振动速度。解：（1） y = 0.1 cos ( 4 t - 2 x / 10 )= 0.1 cos 4 （t - x / 20 ） (SI) （2） 当 t1 = T / 4 = 1 / 8 ( s ) , x1 = / 4 = 10 / 4 m 处质点的位移 y1 = 0.1cos 4 （ T / 4 - / 80 ）= 0.1 cos 4 (1 / 8 - 1 / 8 ) = 0.1 m （3） 振速 20(sin.0ttvt2
3、 = T / 2 = 1 / 4 (S) ,在 x1 = / 4 = 10 / 4( m ) 处质点的振速v2 = -0.4 sin ( - / 2 ) = - 1.26 m / s 143 一简谐波沿 x 轴负方向传播，圆频率为 ，波速为 u。设 时刻的波形如本题图所示，求该波的4t表达式。解：由图可看出，在 t=0 时，原点处质点位移y0 A，说明原点处质点的振动初相 ，因而波动方程为)(cosuxt144本题图表示一平面余弦波在 t0 时刻与 t2s 时刻的波形图，求：(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波方程。解：由图可知：原点处质点的振动初相 ；20O P L x习题
4、 141 图yuAx0习题 143 图波长 ，波速 ；m160smu/102因而圆频率 ，8(1) 原点处质点的振动方程 )28cos(0tAy(2) 波方程 10xt145 已知一平面简谐波的方程为 (SI)24(cosxtAy(1) 求该波的波长 ，频率 和波速度 u 的值；(2) 写出 t2.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置。146 波源作简谐振动，周期为 s10.2，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以 u400m/s 的速度沿直线传播。求：（ 1）距离波源 8.0m 处质点 P 的运动方程和初相；（2）距离波源 9.0m 和 1
5、0.0m 处两点的相位差。解：在确知角频率 1s20/T、波速 1sm40u和初相）或 2/(/30的条件下，波动方程 2/3)s40/)(s20co( 11 xtAy位于 xP = 8.0 m 处，质点 P 的运动方程为 /5)s(1t该质点振动的初相 2/50P。而距波源 9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为 2/)(2/)(112 uTxx如果波源初相取 /0，则波动方程为 2/9)(s20co(1tAy147 为了保持波源的振动不变，需要消耗 4.0W 的功率。若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）。求距离波源 5.0m 和 10.0m 处的能流密度。分析：波的传播伴随着
6、能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）)(y8016tu2/A2Ost )m(x习题 144 图相同，都等于波源消耗的功率 P。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度 SI。解：由分析可知，半径 r 处的能疏密度为 24rPI当 r1 = 5.0 m、r 2 = 10.0 m 时，分别有 22211 mW07.rI 23228.4P148一弹性波在媒质中传播的速度 u=103m/s，振幅 A=1.0104m，频率 =103Hz，媒质的密度为 =800kg/m3。求：（1）波
7、的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积S=4.0104m2 的总能量。解：（1）由能流密度 I 的表达式得 2W1058.221 52 vuAuAI(2)在时间间隔 s60t内垂直通过面积 S 的能量为 J1079.33tItPW149 如本题图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在 O 点相遇；若三个简谐波各自单独在S1、S 2 和 S3 振动方程分别为 y1Acos(t+/2) ，y 2A cost和y32Acos( t /2)，且 S2O4 ，S 1OS 3O 5（ 为波长） ，求 O点的合振动方程。 （设传播过程中各波振幅不变）解：每一波传播的距离都是
8、波长的整数倍，所以三个波在 O 点的振动方程可写成y1 = A1 c o s ( t + / 2 ) y2 = A 2c o s t y3 = A3 c o s ( t - / 2 ) 其中 A1 = A2 =A， A3 = 2A , 在 O 点，三个振动叠加，利用振幅矢量图及多边形加法（如图）可得合振动方程 y = 4tcos(/) 1410 本题图中 和 是波长均为 的两个相干波的波源，相距 3 /4， 的位相1S21S比 超前 。若两波单独传播时，在过 和 的直线上各点的强度相同，不随距离变2S1S2化，且两波的强度都是 ，则在 、 连线上 外侧和外侧 各点，合成波的强度分0I122S别
9、为多少？S3OS1 S2习题 149 图P12SQul43l习题 1410 图A2A1/4A3A= Ai0 y 解：在 的外侧，两波源引起的分振动的相位差1S，232112 r合振动振幅 ，波的强度 ；0A04I在 外侧， ，所以 I=0 。2S 232112r1411 在弦线上有一简谐波，其表达式为 34201cos0.21 xty（SI） 。为了在此弦线上形成驻波，并且在 x0 处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，求其表达式。解：设另一波的波动方程为 201cos0.22xty则驻波方程为 23410cos2345cos10.4221 txyx0 处为波腹， ,03k取 k0 处，则 43
10、4201cos0.22xty1412如本题图所示， 和 为同位相的两相干波源，相距为 L，P 点距 为 r；1S2 1S波源 在 P 点引起的振动振幅为 ，波源 在 P 点引起的振动振幅为 ，两波波长都1SA2A是 ，求 P 点的振幅。解：两列波传到 P 点时的相位差， rLrLr2212 因而 P 点振幅 21212122121 coscos rLAAAr1S2S习题 1412 图1413如本题图所示，S 为点波源，振动方向垂直于纸面， 和 是屏 AB 上的两1S2个狭缝， a。 AB，并且 b。x 轴以 为坐标原点，并且垂直于 AB。在1211S2AB 左侧，波长为 ；在 AB 右侧，波长
11、为 。求 x 轴上干涉加强点的坐标。2解：在坐标为 x 的 P 点，两列波引起的分振动的位相差为 212aba代入干涉加强的条件 ,102212 kxba解出干涉加强点的坐标为 02,2122 xkbax 1414设入射波的方程式为 ，在 x0 处发生反射，反射点TtxAycos为一固定端。设反射时无能量损失，求：（1）反射波的方程式；（2）合成的驻波的方程式；（3）波腹和波节的位置。解：（1）反射点是固定端，反射时有半波损失，且振幅不变，所以反射波的方程式为 TtxAy2cos2（2）合成的驻波的方程式为 2cos2cs21 txy（3）波腹位置满足 ， 3,1nx 1nx波节位置满 ， 。
12、2,0,221415如本题图所示，一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，BC 为波密介质的反射面。波由 P 点反射，OP=3/4，DP =/6。在 t0 时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求 D 点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波和反射波的振幅皆为 A，频率为 。）解：以 O 点为坐标原点，设入射波方程式为 xtAy2cos1在 P 点引起的振动方程为 AxabS12B习题 1413图P.ODxBC习题 1415图 23cos432cos1 tAtAyP反射时有半波损失， ，反射波方程式为22tP xtAxtAy 2cos43cos2合成驻波方程式为 txAycs2os21
13、由题设条件 t0 时 x0 处 y0， ，所以 ，t2cos2stx又 ，代入上式，得 D 点的振动方程,1729643Dx tAtAtyD 2sin32cos31416一平面简谐波的频率为 500Hz，在空气中（ 1.3kg/m3）以 u340m/s 的速度传播，到达人耳时，振幅约为 A1.010 -5m。试求波在耳中的平均能量密度和声强。解：波在耳中的平均能量密度 2622 mJ104.1 v声强就是声波的能流密度，即 23W18.wuI这个声强略大于繁忙街道上的噪声，使人耳已感到不适应。一般正常谈话的声强约为 26mW10.左右。1417面积为 1.0m2 的窗户开向街道，街中噪声在窗户
14、的声强级为 80dB。问有多少“声功率”传入窗内？分析：首先要理解声强、声强级、声功率的物理意义，并了解它们之间的相互关系。声强是声波的能流密度 I，而声强级 L 是描述介质中不同声波强弱的物理量。它们之间的关系为 )lg(0IL，其中 2120mW.为规定声强。L 的单位是贝尔（B） ，但常用的单位是分贝（dB） ，且 1B = 10 dB。声功率是单位时间内声波通过某面积传递的能量，由于窗户上各处的 I 相同，故有 ISP。解：根据分析，由 )lg(0L可得声强为 01IIL则传入窗户的声功率为 W.40SIIPL1418若在同一介质中传播的、频率分别为 1200Hz 和 400Hz 的两声波有相同的振幅。求：（1）它们的强度之
