《高中物理竞赛解题方法之降维法例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中物理竞赛解题方法之降维法例题（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。赛题精讲例 1：如图 131 所示，倾角 =30的粗糙斜面上放一物体，物体重为 G，静止在斜面上。现用与斜面底边平行的力F=G/2 推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数 等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦
2、力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察，图 131甲、图 131乙所示。如图 131甲所示，推力 F 与重力沿斜面的分力 G1 的合力 F为：GF22F的方向沿斜面向下与推力成 角，则 451tan这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与 F平衡，即 2/GFf所以摩擦因数： 360cos2/GfN例 2：如图 132 所示，一个直径为 D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为 h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小
3、球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图 132甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距 h，当圆柱转 n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为 212atnD圆弧槽内小球下降的高度为 21gtn解、两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为 hDga例 3：如图 133 所示，表面光滑的实心圆球 B 的半径 R=20cm，质量 M=20kg，悬线长 L=30cm。正方形物块 A 的厚度h=10cm，质量 m=2kg，物体 A 与墙之间的动摩擦因数 =0.2，取 g=1
4、0m/s2。求：（1）墙对物块 A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体 A 上施加一个与墙平行的外力，使物体 A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度 a=5m/s2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体 A、B 所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析 A、B 间压力和 A 对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析 A 物体沿墙水平运动时的受力情况。（1）通过受力分析可知墙对物块 A 的静摩擦力大小等于物块 A的重力。 （2）由于物体 A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。又因为物体
5、受竖直向下的重力，所以推力 F 方向应斜向上。设物体 A 对墙的压力为 N，则沿垂直于墙的方向，物体 B 受到物体 A 的支持力大小也为 N，有 tan,Mgf而又因为 43ta53sin所 以RLh在与墙面平行的平面内，对物体 A 沿竖直方向做受力分析，如图 133甲所示有 mgFsi沿水平方向做受力分析，有 mafFcos由以上各式，解得 )5/rin(,520)()2NafgF因此，对物体 A 施加的外力 F 的大小为 20 N，方向沿墙面斜向上且与物体 A 水5平运动方向的夹角为 ).5/arcsin(例 4：一质量 m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图 134
6、 所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径 r=0.025m，钢件与圆柱间的动摩擦因数 =0.20。两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为./0srad的匀速运动，求推力是多大？（设钢件不发生m5.横向运动）解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，直接不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到相对运动的方向，而且钢件的受力不在同一平面内，所以考虑“降维” ，即选一个合适的角度观察。我们从上往上看，画出俯视图，如图 134甲所示。我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩
7、擦力，先分析相对运动的方向，钢件有向前的速度 ，左边圆住有向右的速度 ,0r则钢件相对于圆柱的速度是 与 的矢量差，如图中 v，即为钢件相对于圆柱的速度，r所以滑动摩擦力 f 的方向与 v，的方向相反，如图 134甲所示。以钢件为研究对象，在水平面上受到推力 F 和两个摩擦力 f 的作用，设 f 与圆柱轴线的夹角为 ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有2200)(2cosrvfffF再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出 FN，如图134乙所示，钢件受重力 G 和两个向上的支持力 FN，且G=2FN，所以把 代入式，得NFf,2推力 rvmgrvF 2)(2)(020 例 5：如图 135
8、所示，将质量为 M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为 ，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。解析：要求张力，应在链条上取一段质量元 进行研究。因为该问题是三维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。图 134乙作出俯视图 135甲，设质量元 两端所受张力为 T，其合力为 F，因为它所对m的圆心角 很小，所以 ，即 F=T。2sinTF再作出正视图 135乙，质量元受重力 g、支持力 N 和张力的合力 F 而处于平衡状态，由几何知识可得： 2cotcotM所以链条内的张力 2cot2MgFT例 6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
9、演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图 136 所示。如果演员和摩托车的总质量为 M，直壁半径为 R，匀速率行驶的速率为 v，每绕一周上升的距离为 h，求摩托车匀速走壁时的向心力。解析：摩托车的运动速度 v，可分解为水平速度 v1 和竖直分速度为 v2，则向心力速度为 。处理这个问题的关键是将螺旋线展开Ra21为一个斜面，其倾角的余弦为 ，如图 1362)(coshR甲所示。所以有 vRv21)(cs向心加速度为： 221)(ha向心力 )4(22RMvF例 7：A、B、C 为三个完全相同的表面光滑的小球， B、 C 两球各被一长为 L=2.
10、00m的不可伸和的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点 O 为原点作一直角坐标系轴竖直向上，Ox 与两球的连心线重合，如图 137 所示。今让 A 球射向 B、Czy,两球，并与两球同时发生碰撞。碰撞前，A 球速度方向沿 y 轴正方向，速率为。相碰后，A 球沿 y 轴负方向反弹，速率 =0.40m/s。smvA/0.40 Av（1）求 B、C 两球被碰后偏离 O 点的最大位移量；（2）讨论长时间内 B、C 两球的运动情况。 （忽略空气阻力，取 g=10m/s2）解析：（1）A、B、C 三球在碰撞前、后的运动发生在 平Oxy面内，设刚碰完后，A 的速度大小为 ，B 、C 两球的速度分别为A
11、v与 ，在 x 方向和 y 方向的分速度的大小分别为 ，BvC Bxv，如图 137甲所示，由动量守恒定律，有yxy,和0BCmvACyyAxmv由于球面是光滑的，在碰撞过程中，A 球对 B 球的作用力方向沿 A、B 两球的连心线，A 球对 C 球的作用力方向沿 A、C 两球的连心线，由几何关系，得6tanCyxBv由对称关系可知 CyBxv解、式可得 sm/27.1smvCyBx/20.由此解得 svCyBx/54.设 C 球在 x0, y0, z0 的空间中的最大位移为 Q 点的 z 坐标为 zQ，则由机械能,O守恒定律可写出 QCmgv21所以 代入数值解得 zQ=0.32mzQ而 Q
12、点到 Oz 轴的距离为 )2()(22 QzLLD图 137 甲所以 C 球离 O 点的最大位移量 QQLzODz22代入数值，得 mQ13.由对称性，可得 B 球在 的空间的最大位移量 为0,zyx POP.（2）当 B、C 两球各达到最大位移后，便做回到原点的摆动，并发生两球间的碰撞，两球第一次返回 O 点碰撞前速度的大小和方向分别为方向沿正 x 轴方向smvx/7.1=2.20m/s 方向沿 y 轴方向By方向沿正 x 轴方向svCx/2.=2.20m/s 方向沿 y 轴方向y设碰撞后的速度分别为 ，对应的分速度的大小分别为 、 、 和1CBv和 xBv1yxCv1，由于两球在碰撞过程中
13、的相互作用力只可能沿 x 轴方向，故碰撞后，沿 y 轴方向yCv1的速度大小和方向均保持不变（因为小球都是光滑的） ，即= 方向沿负 y 轴方向 yB1= 方向沿负 y 轴方向 Cv碰撞过程中，沿 x 轴方向的动量守恒，则 CxBxxxCmvvm11因为 所以CxBvxBCv1即碰撞后两球在 x 方向的分速度大小也相等，方向相反，具体数值取决于碰撞过程中是否机械能损失。在 A 球与 B、C 两球同时碰撞的过程中，碰撞前，三者的机械能碰撞后三者的机械能mvED821 122259.61EmvCBA 表明在碰撞过程中有机械能损失，小球的材料不是完全弹性体，故 B、C 两球在碰撞过程中也有机械能损失
14、，即 )(21)(21)(21 2111 YXXYX BCB vmvvm 11由、和 三式，和 11 CxBBx11 12或 CBCBvv1当 B、C 两球第二次返回 O 点时，两球发生第二次碰撞，设碰撞后两球的速度分别为 ，对应的分速度的大小分别为 ，2和 yCxBvvyX2,2和则有 yyyy CBCBvv1122yxxxC1122或 2由此可见，B、C 两球每经过一次碰撞，沿 x 方向的分速度都要变小，即xxxxxxX CBCBCB vvvv 332211 而 y 方向的分速度的大小保持不变，即ytyyyyy BBBB 332211当两球反复碰撞足够多次数后，沿 x 方向的分速度为零，只
15、有 y 方向的分速度。设足够多的次数为 n，则有 0nxnxCBv13smvvynynyBCB/20.14即最后，B、C 两球一起的 Oyz 平面内摆动，经过最低点 O 的速度由 式给出，设14最高点的 z 轴坐标为 ，则 得QnzQnCnygzv2 gvCny2代入数值，得 m4.015最高点的 y 坐标由下式给出： QnQnQn zLzLy )()(22 代入数值，得： Qn95.16例 8：一半径 R=1.00m 的水平光滑圆桌面，圆心为 O，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线 C，如图 138 所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上某一点，另一端系一质量为 m=7.5102kg 的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个图 138方向与绳垂直、大小为 的初速度，物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱smv/0.4上。已知当绳的张力为 T0=2.0N 时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动。（1）问绳刚要断
