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1、第一章常用逻辑用语复习第一讲命题及其关系、充要条件与必要条件一四种命题及其相互关系1命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的叫做命题。其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做。2命题的结构：在数学中，具有“若则”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的叫做，叫做。3四种命题的概念：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若则；逆命题：；否命题：；逆否命题：。关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的
2、；（3）交换原命题的条件和结论，同时进行否定，所得的命题是原命题的。4四种命题之间的相互关系如下图所示：互否为逆为逆互否互否互否互逆原命题若p则q互逆逆命题若q则p逆否命题若则逆否命题若则由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性。5反证法：由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困难时，可以通过证明，来间接地证明原命题为真命题，这种证明的方法，称作是。用反证法证明的步骤如下：（1），即假设结论的反面成立；（2）从出发，经过推理论证得出矛盾；
3、（3）由矛盾判定假设不正确，。二充分条件与必要条件6若分别两个命题， 若 ，则叫做的充分不必要条件；若 ，则叫做的必要不充分条件；若 ，则叫做的充要条件；若 ，则叫做的既不充分也不必要条件；7命题判断法 ：设“若则”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则是的 条件；(2)原命题为假，逆命题为真时是的 条件；(3)原命题与逆命题都为真时，是的 条件；(4) 原命题与逆命题都为假时，是的 条件.8集合判断法：从集合的观点看，建立命题相应的集合：成立，成立，那么：(1)若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(2) 若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(3)若，则是的 条件，若且时，则是
4、的条件. 典例精析例1判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：，方程无实根（4）（5）人类在2020年登上火星.例2写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。警示要注意否命题与命题否定的区别。否命题是同时否定命题的条件和结论所得到的新命题，而命题的否定是否定命题的的结论后所得到的新命题。还应注意一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：正面词语等于（）大于（）小于（）有是都是全是否定词语不等于（）不大于（）不小于（）无不是不都是不全是正面词语任意的任
5、意两个至少有一个至多有一个所有的至多有个或否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些至少有个且变式训练2（07年全国100所名校）命题“所有的奇数的立方是奇数”的否定是.3（05江苏卷）命题“若，则”的否命题是.例3（06年上海卷）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由例4已知，求证：，三式中至少有一个不大于.例5求关于的方程 的两个实根都大于1的充要条件。例6已知数列 、，其中 、是等比数列.对于任意正整数，、都成等差数列，且.试证明：“数列成等比数列”的充
6、要条件是“数列 与公比相等”.7.证明：方程有两个同号不相等实根的充要条件是.例7. 设命题;命题,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.8已知条件；条件，试问是的什么条件？例8. 已知集合，.（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件. 课后练习1下列语句中，命题的个数是( )一个正整数不是质数就是合数；过平面内一定点只能作一条直线和已知直线平行吗？等边三角形难道不是等腰三角形吗？求证：没有实数根.(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题共组
7、成了四个命题，这四个命题中( )(A)真命题的个数一定是奇数 (B) 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数(C)真命题的个数一定是偶数 (D)以上说法都不正确3. （05年天津卷）给出下列三个命题若,则；若正整数m和n满足,则；设为圆上任一点，圆O2以为圆心且半径为1.当时,圆O1与圆O2相切；其中假命题的个数为（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.（06年天津卷）设集合，那么“”是“”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.（07年山东淄博一模）已知直线y=2x上一点P的横坐标为a，有两个点A（-1，1），B（3，3），
8、那么使向量 与夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ） ()1a2 ()0a2 () () 0a16.命题：“是偶数，则是偶数” 的逆否命题是 .7. (06年山东卷)下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.将函数y=的图象按向量v=(1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2若sin(+)= ,sin()=,则已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.8. 判断命题“若，则的图象与轴有两个交点”的逆否命题
9、的真假。9. 求证：“ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的必要不充分条件.10.(07年山东日照一模)求关于的方程至少有一个正根的充要条件.11.已知且，求证：中至少有一个大于0.12. （1）是否存在实数，使得是的充分条件？（2）是否存在实数，使得是的必要条件？第二讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理一逻辑联结词1逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如.2“且”记作；“或”记作；“非”记作.3命题，和的真假判断真真真假假真假假由上表得到结论：对于而言“一假必假”；对于而言“一真必真”；对于而言“真假相反”。二全称量词与存在量词4全称量词：短语、在逻辑中通常叫做全称
10、量词，用符号来表示；含有全称量词的命题，叫做.全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为.5存在量词：短语、在逻辑中通常叫做存在量词，用符号来表示；含有存在量词的命题，叫做.存在命题“存在中一个，使成立” 可用符号简记为.6含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：全称命题：，它的否定：；即全称命题的否定是.含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：全称命题：，它的否定：；即全称命题的否定是. 典例精析例1在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题：“第一次射击中靶”，命题：“第二次射击中靶”，试用，及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次射击
11、均中靶； （2）两次射击均未中靶；（3）两次射击恰好有一次中靶； （4）两次射击至少有一次中靶.例2（05年西安市模拟）指出下列命题的真假（1）命题“不等式没有实数解”；（2）命题“1是偶数或奇数”；（3）命题“属于集合，也属于集合”；（4）命题“”例3（2007年华师附中）已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围.例4写出下列命题的否定，并判断真假（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）有些实数的绝对值是正数； （4）某此平行四边形是菱形。例5判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）对数函数都是单调函数；（2）至
12、少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；（3）是无理数, x2是无理数；(4).例6若：，如果对于，为假命题且为真命题，求实数的取值范围。课后练习1命题.下列结论正确的是（）（A） 为真 （B） 为真 （C） 为假 （D） 为真2设原命题：若a+b2，则a,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A原命题真，逆命题 B原命题假，逆命题真 C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题3（2006年杭州模拟）已知命题不等式的解集是R，命题在区间上是减函数。若命题“或”为真命题，命题“且”是假命题，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）4命题p：存在实数m，使方程x2mx10有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）A、 存在实数m，使得方程x2mx10无实根 B. 不存在实数m，使得方程x2mx10有实根C. 对任意的实数m，使得方程x2mx10有实根 D至多有一个实数m，使得方程x2mx10有实根5命题“”的否定是：6令是真命题，则实数的取值范围是_.7(1)设集合边形：“内角和为”，试用不同的表述方式写出全称命题“”；（2）设集合四边形：对角线垂直平分，试用不同的表述方式写出存在命题“”。8已知p：方程有两个不等的负实根，q：方程无实根.若为真，为假，求m的取值范围.9指出下列各小题中A是B成立的什么条件？(1
