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1、Company Logo 浙江省象山中学浙江省象山中学315700 315700 张宗余张宗余 核心核心 素养素养 数学 抽象 逻辑 推理 数学 建模 直观 想象 数学 运算 数据 分析 史宁中史宁中教授教授: 数学数学在本质上研究的在本质上研究的 是抽象的东西，数学的是抽象的东西，数学的 发展所依赖的最重要的发展所依赖的最重要的 基本思想也就是抽象基本思想也就是抽象. 一、直面“数学抽象”一、直面“数学抽象” 数学抽象数学抽象的三组关键词的三组关键词 是把研究 的事物从某 种角度看待 的本质属性 抽取出来进 行考察的思 维方法 必须具备客 观性、实在 性和可检验 性，是客观 事物所具有 的某
2、种属性、 关系的真实 反映，不是 空洞的、荒 谬的和神秘 的虚构 是指从研究对象或问题中抽取出 数量关系或空间形式而舍弃其他 属性对其进行考察的方法. 数学抽象就是指由具体事物中抽 取出量的方面、属性或关系. 我们认为这种抽象(思维运动中 的抽象)不仅可以在感性具体和 理性具体之间搭建思维的桥梁， 也可以在此理性具体与彼理性 具体之间搭建思维的桥梁. 抽象抽象科学抽象科学抽象数学抽象数学抽象 作为数学核心素养的数学抽象作为数学核心素养的数学抽象 内涵内涵 目标目标 价值价值 表现表现 是指舍去事物的一切 物理属性，得到数学 研究对象的思维过程 在数学抽象核心素养 的形成过程中，积累 从具体到抽
3、象的活动 经验 是数学的基本思想， 是形成理性思维的重 要基础，反映了数学 的本质特征，贯穿在 数学的产生、发展、 应用的过程中。 形成数学概念和规则 形成数学命题与模型 形成数学方法与思想 形成数学结构与体系 从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学 概念及概念之间的关系 从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构 并且用数学符号或者数学术语予以表征 能更好地理解数学概念、命题、方法和体系 能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学 本质 能逐渐养成一般性思考问题的习惯 能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的 思维方式解决问题。 使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有 序多级的系统
4、情景与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思 二、在概念教学中渗透“数学抽象”的三个维度二、在概念教学中渗透“数学抽象”的三个维度 学情分析学情分析 教材分析教材分析 学生在高一年级的物理课上学习过瞬时 速度。因此，学生已经具备了一定的认 知基础。 教科书没有介绍形式化的极限定义及 相关知识，而是从变化率入手，用形 象直观的“逼近”方法定义导数。在 教学中，应注重引导学生充分经历这 个过程，通过思考、讨论、探究，理 解瞬时速度的含义、感受逼近的思想。 展现了一个完整的数学探究过程：提 出问题，寻求想法，实施想法，发现 规律，给出定义。 维度一维度一：“抽丝剥茧”，从具体到抽象的深化“抽丝剥茧
5、”，从具体到抽象的深化 是寻找共性和规律，是挖掘和是寻找共性和规律，是挖掘和深化深化 教学片断教学片断1：“瞬时速度”：“瞬时速度”的给出：的给出： 瞬时速度 思考思考 关注区间的速度关注区间的速度 数学抽象数学抽象 从事物的具体背景 中抽象出一般规律 和结构 数学抽象数学抽象 就是指由具体事物 中抽取出量的方面、 属性或关系 维度一维度一：“抽丝剥茧”，从具体到抽象的深化“抽丝剥茧”，从具体到抽象的深化 教学片断教学片断2：抽象引入：抽象引入 “算一算”的环节 给学生猜想和操作 的空间,在运算中有 目的引导学生用 来替代和简化运算. 算一算：算一算： 计算在区间 2,2.1 、 2,2.01
6、 、 2,2.001 、1.9999,2的 平均速度 ,请你说一说那 个平均速度 更接近瞬时速 度？ 思考：思考： 运算是思维的“童子 功”（章建跃） 如何改进运算 . 21 21 ( )( )h th t tt y x 2 ( )4.96.510h ttt 教学片断教学片断3：导数的概念：导数的概念 维度一维度一：“抽丝剥茧”，从具体到抽象的深化“抽丝剥茧”，从具体到抽象的深化 探究：探究： 1.运动员在某一时刻 0的瞬时速度怎样 表示? 2.当空气容量从1增加到2时,气球的平 均膨胀率(2)(1) 21 是, 那么气球在某一体 积1的瞬时膨胀率怎样表示？ 3. 函数()在 = 0处的瞬时变
7、化率怎 样表示? 设计意图设计意图 由特殊到一般地抽象出 函数瞬时变化率的概念,即 导数的概念 函数 = () 在 = 0处的瞬时变化率是 lim 0 = lim 0 0+ (0) 我们称瞬时变化率为函数 = () 在 = 0处的导数 （derivative），记作 0或 | = 0 即 (0) = lim 0 0+ (0) 维度二：“作茧自缚”，从抽象到概括的具化维度二：“作茧自缚”，从抽象到概括的具化 是一种普遍原理在各方面的具体体现和应用，是联想和是一种普遍原理在各方面的具体体现和应用，是联想和发散发散教学片段教学片段4 4 瞬时速度的给出瞬时速度的给出 13.113.1 0 0 文字描
8、述：“当t=2,趋近于0时,平均速度 趋近于确定值-13.1” 问题问题1 当趋近于0时,平均速度 有什么样的变 化趋势？你能用文字语言描述一下么？ 第一次抽象第一次抽象 从辨别到概括从辨别到概括 用自然语言表达用自然语言表达 的直观描述的直观描述 2 224.913.1 (2)2 hthtt v tt 2 224.913.1 2(2) hhttt v tt 当当t0时时当当t0时时 数值上数值上 13.1 形式上形式上 趋向趋向 符号语言：符号语言： = 维度二：“作茧自缚”，从抽象到概括的具化维度二：“作茧自缚”，从抽象到概括的具化 文字语言：文字语言： “当 = 2,t 趋近于0时,平均
9、速度 趋近于确定 值-13.1” lim 0 2 + (2) 第二次抽象第二次抽象 概括后到形式化概括后到形式化 完成符号表达完成符号表达 维度三：“化蛹成蝶”，从量变到质变的脱化维度三：“化蛹成蝶”，从量变到质变的脱化 由量变到质变则是一种升华，是一种涅槃和由量变到质变则是一种升华，是一种涅槃和再造再造教学片断教学片断5： 数学逼近数学逼近 13.1 13.1 0 0 问题问题2： 请你观察区间2,2 + ( 0) 区间2 + ,2( 0,、 )， 我们称它为函数 = () 在 = 0处的导数（derivative）， 记作 0或| = 0 即 (0) = lim 0 0+ 0 + （ 0,
10、、 )。 导数一般性的概念导数一般性的概念 展现展现了一个完整的数学探究过程：提出问题，寻求想了一个完整的数学探究过程：提出问题，寻求想 法，实施想法，发现规律，给出法，实施想法，发现规律，给出定义定义. 数学史上有许多经典数学抽象故事，故事的隐喻性较 易让人感受到数学抽象是数学的长处、优点和有力武器， 从而改变数学枯燥、难学、乏味的印象，用数学抽象的内 在魅力使学生从内心深处喜欢上数学抽象和数学。 用用数学的眼光看待数学的眼光看待事物事物 用数学思维分析世界用数学思维分析世界 用数学语言表达世界用数学语言表达世界 - 史宁中史宁中 数学抽象要关注数学内在的魅力数学抽象要关注数学内在的魅力 数
11、学抽象要关注数学内在的魅力数学抽象要关注数学内在的魅力 数学核心素养整体性数学核心素养整体性 情景与 问题 知识与 技能 思维与 表达 交流与 反思 涉及的四个方面涉及的四个方面 数学每一个核心素养有自身独立性 ，但是，我们更需要强调整体性， 六个核心素养是一个有机联系的整 体，它们不是两两“不交”的独立 素养，而是相互“交着”相互“渗 透”的。 在直观想象中，蕴含着抽象、推理（运算 ）、模型； 在抽象概括中，也离不开直观、推理（运 算）、模型； 在数学建模的过程中，更是需要直观、推 理、运算、模型交互发挥作用，数据分析 是特殊的数学建模，统计建模。 数学数学素养归根到底是素养归根到底是 一种
12、文化素养，数学教育一种文化素养，数学教育 也就是一种文化素质的教也就是一种文化素质的教 育，它的养成不是一朝一育，它的养成不是一朝一 夕之事，我们教师贵在重夕之事，我们教师贵在重 视和坚持。要通过学习使视和坚持。要通过学习使 学生感受到，数学不仅仅学生感受到，数学不仅仅 是一系列抽象的知识，更是一系列抽象的知识，更 多的则是一种方法，一种多的则是一种方法，一种 文化，一种思想，甚至于文化，一种思想，甚至于 一种精神和态度，从而让一种精神和态度，从而让 学生满怀乐趣和憧憬地去学生满怀乐趣和憧憬地去 学习它。学习它。 数学抽象要关注数学内在的魅力数学抽象要关注数学内在的魅力 谢 谢 聆 听！ 弱抽
13、象弱抽象 从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的抽象称为弱抽象从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的抽象称为弱抽象. . 数学抽象的基本套路数学抽象的基本套路 等边等边 三角形三角形 任意任意 三角形三角形 等腰等腰 三角形三角形 弱抽象是缩小内涵弱抽象是缩小内涵, ,扩大外延的抽象扩大外延的抽象, ,是从特殊到一般的是从特殊到一般的抽象抽象. . 函数概念的形成和发展过程是一系列弱抽象的过程，即由特殊到一般的过程函数概念的形成和发展过程是一系列弱抽象的过程，即由特殊到一般的过程. . 早期的函数早期的函数 概概念念 （代数函数）（代数函数） 18世纪的函数世纪的函数 概概念念 （解析函数）（
14、解析函数） 19世纪的函数世纪的函数 概概念念 （变量函数）（变量函数）近代函数近代函数 概概念念 （映射）（映射） 减弱代数运算减弱代数运算 去掉解析表达式的要求去掉解析表达式的要求 去掉数集去掉数集 强抽象强抽象 从从事物具有的若干属性中事物具有的若干属性中, ,强化或者添加某些属性强化或者添加某些属性 的抽象称为强抽象的抽象称为强抽象. . 强抽象是扩大内涵缩小外延的抽象强抽象是扩大内涵缩小外延的抽象, ,是从一般到特殊的抽象是从一般到特殊的抽象. . 一组对边一组对边 平行平行 两组对边两组对边 平行平行 对角相等对角相等对边相等对边相等 任意四边形任意四边形梯形梯形平行四边形平行四边形矩形矩形正方形正方形 数学抽象的基本套路数学抽象的基本套路 在在微积分的表述过程中微积分的表述过程中, ,函数概念又表现为一系列强抽象的过程函数概念又表现为一系列强抽象的过程. . 函数函数连续函数连续函数可微函数可微函数 添加添加 连续性连续性 添加添加 可微性可微性
