《2017届北京海淀重点学校高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017届北京海淀重点学校高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017届北京海淀重点学校高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案代号填涂在答题纸上1集合，若，则的值为（ ）ABCD 【答案】D【解析】，故选2已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于（ ）ABCD【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由，得：，解得，一、选择题（共8小题；共40分）1复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】复数，其在复平面上对应的点为，该点位于第二象限故选2“在内”是“在内单调递增”的（
2、）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】在内，则在内单调递增，反过来，若在内单调递增，则，“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件故选3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）ABCD【答案】C【解析】，输出故选4已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，由抛物线定义，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，则，当且仅当点为当抛物线的交点时取得等号故选5某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A收入最高值与收入最低值的比是
3、B结余最高的月份是月份C与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D前个月的平均收入为万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误综上，故选6若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则直线与曲线围成的封闭区域的面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，解得，那么与围成的封闭圆形区域的面积为故选7一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：）为（ ）ABCD【答案】A【解析】由三视图可得，该几
4、何体为三棱锥，如图所示，面面，取中点，中点，面，利用勾股定理得，故选8已知偶函数，当时，当时，关于偶函数的图象和直线的个命题如下：当时，存在直线与图象恰有个公共点；若对于，直线与图象的公共点不超过个，则；，使得直线与图象交于个点，且相邻点之间的距离相等其中正确命题的序号是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据偶函数的图象关于轴对称，利用已知中的条件作出偶函数，的图象，利用图象得出：当时，偶函数的图象如下：存在直线，如，与图象恰有个公共点，故正确若对于，由于偶函数的图象如下：直线与图象的公共点不超过个，则，故正确，偶函数的图象如下：，使得直线与图象交于个点，且相邻点之间的距离相等，故正确；因此正确
5、命题的序号是故选二、填空题（共6小题；共30分）9设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果与该比曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意知，所以又，则，解得10给出下列结论：一条直线垂直于一个平面，则这条直线就和这个平面内的任何直线垂直；过平面外一点有只有一个平面和这个平面垂直；过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面其中正确的是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】由直线与平面垂直的定义可知正确；过平面外一点有无数个平面和这个平面垂直，故错误；过直线外一点有无数个平面和这条直线平行，故错误
6、；由面面平行的性质定理可知正确综上，正确的是11若不同两点、的坐标分别为，则线段的垂直平分线的斜率为_，圆关于直线对称的圆的方程为_【答案】；【解析】，故直线的斜率为，由点斜式可是的方程为，圆心关于直线的对称点为，故所求圆的方程为12已知实数、满足，则的最大值是_【答案】【解析】在坐标系中作出不等式组的可行域，三个顶点分别是，由图可知，当，时，的值最大是13甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，人的名次排列共_（用数字作答）种不同情况【答案】【解析】
7、先排乙，有种排法；再排甲，也有种排法，余下个有种排法，故人的名次排列共有种不同情况14的外接圆圆心为，且，则等于_【答案】【解析】的外接圆圆心为，且，外接圆中，为中点，三、解答题（共5小题；共80分）15贵广高速铁路自贵阳北站起，黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛水西站、广州南站共个站，记者对广东省内的个车站随机抽取个进行车站服务满意度调查求抽取的车站中含有佛山市内车站（包括三水南站和佛山西站）的概率设抽取的车站中含有肇庆市内车站（包括怀集站、广宁站、肇庆车站）个数为，求的分布列及其均值（即数学期望）【答案】见解析【解
8、析】设“抽取的车站中含有佛山市山站”为事件，则的可能取值为，的分布列为的数学期望16在中，角，所对的边分别为，若求角的大小若函数，在处取到最大值，求的面积【答案】见解析【解析】， ， 又，故，当，即时，此时，则17如图，在四棱锥中，平面平面，证明：求平面和平面所成角（锐角）的余弦值【答案】见解析【解析】，同理，又，由勾股定理可知，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，解：取的中点，连结，则，平面平面，平面平面，平面，取的中点，连结，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即，令，则，平面的法向量，又平面的一个法向量为，设平面和平面所成角（锐角）为，则，平面和平面所成
9、角（锐角）的余弦值为18设函数讨论函数的单调性若有两个极值点和，记过点，的直线斜率为问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：由题意得的定义域为，令，其判别式当时，恒成立，故在上单调递增当时，的两根都小于，所以在上，故在单调递增当时，的两根为，当时，当时，当时，故要和上单调递增，在上单调递减由知，斜率，又由知，于是，若存在，使得，则有，即，又，即，再由知，函数在上单调递增，而，这与式矛盾，故不存在，使得19已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上求椭圆的标准方程点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两侧的动点（i）若直线的
10、斜率为，求四边形面积的最大值（ii）当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由【答案】见解析【解析】解：设椭圆的标准方程为，椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，即，又，故椭圆的标准方程为（i）设，直线的方程为，联立，得，由，计算得出，四边形的面积，当时，（ii），则，的斜率互为相反数，可设直线的斜率为，则的斜率为，直线的方程为：，联立，得，同理可得：，直线的斜率为定值20设数列的首项，且时，若，求，若，证明：若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立【答案】见解析【解析】解：得，证明：当时，当，综上，时，解：若，由知，所以，当时，对所有的，成立若，则，且，当时，对所有的，成立，若，则，时，对所有的，成立，综上，若，则，若，则，若，则，
