《2013届高考数学第一轮复习教案第2讲 函数概念与表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013届高考数学第一轮复习教案第2讲 函数概念与表示（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第2讲 函数概念与表示一课标要求1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5学会运用函数图象理解和研究函数的性质。二命题走向函数是整个高中数
2、学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。预测2013年高考对本节的考察是：1题型是1个选择和1个填空；2热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。三
3、要点精讲1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数
4、的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数
5、图象等）。3两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；来源:学.科.网（3）区间的数轴表示。5映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。
6、函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。6常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。7分
7、段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8复合函数若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。四典例解析题型1：函数概念例1（1）设函数（2）设函数f（x），则满足f（x）=的x值为 。解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换， =来源:Zxxk.Com =（2）当x（，1，值域应为，当x（1，）时值域应为（0，），y，y（0，）此时x（1，） log81x，x813。点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代
8、换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。变式题：设（ ）A0 B1 C2 D3解：选项为C。例2（1）函数对于任意实数满足条件，若则_ _；（2）函数对于任意实数满足条件，若则_。解：（1）由得，所以，则。（2）由得，所以，则。点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。题型二：判断两个函数是否相同例3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，
9、g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。点评：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（
10、x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数。（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数。题型三：函数定义域问题例4求下述函数的定义域：（1）；来源:Zxxk.Com（2）解：（1），解得函数定义域为.（2） ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行
11、分类讨论），当a=0时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为。来源:Z_xx_k.Com点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力。例5已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) ；(2)。解：（1）由0x2， 得 点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数fg(x)的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一
12、些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）AaB12a0C12a0Da解：由a=0或可得12a0，答案B。题型四：函数值域问题例5求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），的值域为。来源:学科网ZXXK改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为。（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为
13、，原函数的值域为。（法二）分离变量法：，函数的值域为。（4）换元法（代数换元法）：设，则，来源:Zxxk.Com原函数可化为，原函数值域为。注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为。（6）数形结合法：，函数值域为。（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为。由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为。（8），当且仅当时，即时等号成立。，原函数的值域为。（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为。点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的
14、复习中要作详尽的讨论。题型五：函数解析式例6（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求。来源:Z.xx.k.Com解：（1），（或）。（2）令（），则，。（3）设，则，。（4） ，把中的换成，得 ，得，。点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。例7已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2+x)=f(x)x2+x。（）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)= x0。求函数f(x)的解析表达式。解：（）因为对任意xR，有f(f(x)x2 + x)=f(x)x2 +x，所以f(f(2)22+2)=f(2)22+2。又由f(2)=3，得f(322+2)322+2，即f(1)=1。若f(0)=a，则f(a02+0
