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1、2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A=1，0，1，B=x|1 x1，则AB= ( )A.0 B.1，0 C.0，1 D.1,0,12.在复平面内，复数(2i)2对应的点位于( )A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“=”是“曲线y=sin(2x)过坐标原点的”开始是否输出结束A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1 B. C. D.5.函数f(x)的
2、图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=A. B. C. D. 6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.y=2x B.y= C. D.7.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A. B.2 C. D.8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y0=2，求得m的取值范围是A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，)到直线sin=2的距离等于 .10.若等比数列an满足a2a4=20，a3a5=40，则公比q=
3、 ；前n项和Sn= .11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=3，则PD= ；AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=ab (，R)，则= .14.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. (本小题共13分)在ABC中，a=3，b=2，B=2A.(
4、I)求cosA的值；(II)求c的值.16.( 本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（）求此人到达当日空气重度污染的概率;（）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面ABC
5、；（）求二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.18. (本小题共13分)设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.19. (本小题共14分)已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20. (本小题共13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，,的最小值记为Bn，dn=AnBn
6、。(I)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设d为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2013北京高考理科数学试题 参考答案选择题：1、B；2、D；3、A；4、C；5、D；6、B；7、C；8、C（排除法：把代入不等式组，不适合，排除选项A，把代入不等式组，不适合，排除选项B，把代入不等式组，适合，排除选项D，故选C）；二、填空题：9、1；10、2，；11、 ,4
7、；12、96；13、4；14、 (建立BACB1空间直角坐标系，设,则得P(),设P在CC1上的垂足为Q，则得Q(),所以)；三、解答题：15、解：（I）因为a=3，b=2，B=2A. 所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故.(II)由（I）知，所以.又因为B=2A,所以.所以.在ABC中，.所以.16、解：设表示事件“此人于3月日到达该市”（ =1,2，13）.根据题意, ,且.（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,所以.(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X=1)=P(A3A6A7A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= ,P(X=2)
8、=P(A1A2A12A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,P(X=0)=1P(X=1)P(X=2)= ,所以X的分布列为：故X的期望.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17、解：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1 AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(II)由（I）知AA1 AC，AA1 AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以ABAC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，设平面A1B
9、C1的法向量为，则,即，令，则，所以.同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得.因为，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.18、解: （I）设，则.所以.所以L的方程为.(II)令，则除切点之外，曲线C在直线的下方等价于. 满足，且.当时，所以，故单调递减；当时，所以，故单调递增.所以，（）.所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.（又解：即变形为，记，则，所以当时，在（0,1）上单调递减；当时，在（1，+）上单调递增。所以.）htt
10、p:/ 所以可设A（1，），代入椭圆方程得，即. 所以菱形OABC的面积是.(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为.由消去并整理得.设A,C，则，.所以AC的中点为M（，）.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.20、（I）(II)(充分性)因为是公差为的等差数列，且，所以因此，,.(必要性)因为，所以.又因为，,所以. 于是，.因此，即是公差为的等差数列.(III)因为，所以，.故对任意.假设中存在大于2的项.设为满足的最小正整数，则，并且对任意，.又因为，所以，且.于是，.故,与矛盾.所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为1或2.因此对任意，所以. 故.因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列有无穷多项为1.2013北京高考理科试题 第 11 页 共 11 页
