《2017学年辽宁高三上学期期中数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017学年辽宁高三上学期期中数学（理）试题（解析版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017届辽宁沈阳二中高三上学期期中数学（理）试题一、选择题1设集合 ，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：代表的是函数的定义域，所以，故选C.【考点】函数的定义域，集合的交集.2已知等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，.故选B.【考点】等差数列.3已知 ，若，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,其中，即，则，故选C.【考点】向量的数量积和向量的模.4下列关于函数 的叙述正确的是（ ）A.奇函数，在 上是增函数 B.奇函数，在 上是减函数C.偶函数，在 上是减函数 D.偶函数，在 上是增函数【答
2、案】D【解析】试题分析：函数的定义域为，函数是偶函数，当时，为增函数，故选：D.【考点】函数的奇偶性和单调性.5已知双曲线 的两条渐近线与直线 所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：渐近线的方程为：，令，得，所以两条渐近线与直线 所围成的三角形面积为，有，故选C.【考点】双曲线的渐近线方程及离心率.6设向量满足：，则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：,又，故选B.【考点】向量的数量积.7若不等式组 表示的区域为，不等式 表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为（ ）A. B. C. D
3、.【答案】A【解析】试题分析：由图可得，点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.区域即的面积为，区域的面积为圆的面积，即，其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积，所以区域和区域相交的部分面积，所以落入区域的概率为.所以均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为.故本题正确答案为A.【考点】几何概型.【易错点睛】本题考查的是一个与面积相关的几何概型，以线性规划为背景，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；计算出可行域的面积，二，画目标函数所对应的区域，为一个圆，计算出面积，即，注意圆有一部分没在可行域内，得到公共部分的面积，由几何概型的面积公式可得.8已知函数的部分图象如图所示，若
4、，则下列说法错误的是（ ）A.B.函数的一条对称轴为C.为了得到函数的图象，只需要将函数 的图象向右平移个单位D.函数的一个单调递减区间为【答案】D【解析】试题分析：对于A：由函数图形，将点代入，故A正确；，对于：B，由，将，求得，故B正确；C选项，将向右平移个单位，得故C正确；对于D，选项D错误，故答案选：D.【考点】三角函数的图象和性质.9若均为正实数，则 的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，当且仅当时，等号成立，故答案选：A.【考点】不等式求最值.10函数满足： ，且，则的一个可能取值是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：函数满足:,所
5、以函数的图象关于对称,又,所以函数的图象关于对称；所以，所以，即,所以的一个可能取值是.所以B选项是正确的.【考点】三角函数的性质.11抛物线的焦点为 ,斜率为 的直线的直线与抛物线交于两点，若线段 的垂直平分线与 轴交点的横坐标为，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设点坐标为，直线的斜率为.则直线的表达式为：由得：直线与抛物线的另一交点为：，由得坐标为：，则，因为线段的垂直平分线与线段的交点为：，其斜率=，则其表达式为，代入点求出，即，代入点求得：，则.【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，作为选择题
6、，可以“小题小做”，用特值法令为，由直线和抛物线联立，直接解得交点坐标，简化了运算，进而求交点中点及斜率，得到中垂线方程，再令，解得.此外也可以直线联立运算，运算方法相似，也可以做出来，但做选择题时尽可能小题小做，更准更快.12已知函数 在上的最大值为 ，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以在上是增函数，上是减函数在上恒成立， 由知，所以恒成立等价于在时恒成立，令，有，所以在上是增函数，有，所以.【考点】导数的应用.【方法点晴】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问
7、题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.二、填空题13已知函数 ，则_.【答案】【解析】试题分析：，故答案为.【考点】分段函数求值.14等比数列 中，则数列的前项和为_.【答案】【解析】试题分析：数列的前项和为，在等比数列中，则前项和为.故本题正确答案为.【考点】等比数列的性质.15在 中，内角的对边分别为 ，且满足 ，若成等差数列，则_.【答案】【解析】试题分析：在中，可得：，可得：，成等差数列，.故答案为：.【考点】正弦定理.
8、【方法点晴】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.本题中给出了中边和角的混合式，而且式子中均有一个内角的正弦，应该首先考虑利用正弦定理把左边的用代替，这样得到，结合三角形内角和为即可求得.进而得到，再利用正弦定理解即可求得.16如图，在矩形 中，分别为上的两点，已知，则_.【答案】【解析】试题分析：设，则由题意，利用二倍角正切公式，代入计算解得.故答案为：.【考点】解三角形.【方法点晴】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形
9、中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题17在 中，内角的对边分别为 ，已知.（1）若，求的面积最大值； （2）若，求和.【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）利用基本不等式得出的最大值，得出面积的最大值；（2）利用正弦定理得出的关系，列方程解出，使用正弦定理解得，利用余弦定理解出.试题解析：（1）.（2）故 为锐角.【考点】解三角形.【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件
10、，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18设函数,当时，有最小值.（1）求与的值；（2）求满足 的的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）把看作整体，可转成二次函数的最值问题；（2）由可得，计算可得的范围.试题解析：（1）,则.（2）, 故取值范围是.【考点】二次函数最值，解不等式.19已知向量,函数的最大值为.（1）求；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】（1）；（2
11、）.【解析】试题分析：分析题意，已知和且，求出两个向量的数量积后，进行整理，你能得到的函数关系式吗？根据的最大值为，结合所得函数关系式，不难求出的值；对于（2），首先根据三角函数的平移规律，得到平移后的函数，接着结合求出其对应的值域即可.试题解析：（1） ,则.（2）,.【考点】平面向量数量积和三角函数图象平移.20已知公差不为的等差数列中，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足 ，求适合方程 的正整数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由成等比数列，建立关于的方程，解出，即可求数列的通项公式；（2）表示出，利用裂项相消法求出，建立关于的方程，求解即可.试题解
12、析：（1）由题知：.（2）,.【考点】等差等比数列性质；裂项求和.21已知椭圆的焦距为,其上下顶点分别为,点.（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）点的坐标为,过点的任意作直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率依次成等差数列，探究之间是否存在某种数量关系，若是请给出的关系式，并证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）；(2).【解析】试题分析：（1）依题意，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）当直线的斜率不存在时，将直线与椭圆方程联立，求得的坐标，利用，可得满足的关系式；当直线的斜率存在时，设直线的方程代入整理化简，利用韦达定理及，可得的值从而可得满足的关系式.试题解析：（1）.又， 则椭圆方程为：
13、.（2）取，则则满足：.设直线，且，而：，故满足：.考点:椭圆的集合性质；直线和椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和运算能力，属于中档题.求椭圆的离心率通常根据条件求的一个关系即可，求椭圆方程通常采用待定系数法.研究圆锥曲线中两点的斜率问题，可以用“设而不求”的方法，列出代数关系，根据韦达定理带入化简即可，这是圆锥曲线中最常见的题型之一.22已知,函数,函数,其中为自然对数的底数.（1）若，求函数单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）把代入函数解析式，求出函数的导函数由导函数的符号求得函数的单调区间；（2）求出的表达式以
