第十二章 无穷级数

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1、高等数学学习指导84第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点1基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 P级数的收敛性，掌握正项级数的比值审敛法。(3)了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。(4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求） 。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对幂级数的和函数只要求作简单训练） 。(5)会利用 与 的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简)1ln(

2、,cosi,xxe)(单的函数展开成幂级数。(6)了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。(7)了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开成傅立叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在 和 上的函数展开成傅立叶级数，会),(,(l将定义在 上的函数展开为傅立叶正弦级数或余弦级数。),0(l2重点及难点（1） 重点：掌握正项级数的审敛法，能对幂级数审敛及会把某些函数展开成幂级数。（2） 难点：一般项级数的审敛法，求幂级数的和函数，将函数展开成幂级数。二、内容概述1常数项级数（1）一般概念定义 给定一个数列 ，对它的各项依次用 “+”号连接起来的表达式nu

3、，称为级数，记为 ，其中第 n 项 叫做级数的一般项；级数 nuu21 1nu 第十二章 无穷级数85的前 n 项和 称为级数的第 n 个部分和，简称部分和。nkuus121定义 如果级数 的部分和数列 有极限 s，即若 ，则称无穷级数1nn snlim收敛，这时极限 s 叫做该级数的和，并写成 ; 如果 没有极限，则称1nu 1nun级数 发散。1n（2）收敛级数的基本性质性质 1、若 收敛于和 也收敛，且其和为 ks，其中 k 为常数。nu1,nkus则推论：若 ，则 与 同时收敛或同时发散。0k1n1n性质 2、若两个级数 、 收敛，且其和分别为 ，则级数 也收敛，1nu1nv,s1)(

4、nnvu其和为 。s此性质是说，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。注意 (i)若 收敛， 发散，则级数 发散；1nu1nv1)(nnvu(ii)若 和 都发散， 未必发散，可能收敛也可能发散。1n1n1)(nn性质 3、在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。性质 4、收敛级数任意加括号所成的新级数，仍然收敛于原级数之和。 注意 发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛。反过来说，收敛级数去括号后未必仍收敛。推论：若加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。性质 5（级数收敛的必要条件） 若级数 收敛，则 。1nu0limnu注意 一般项趋于 0 的级数，不

5、一定收敛。推论 若 ，则级数 发散。limnu1n我们常用这个推论来判定某些级数是发散的。高等数学学习指导862正项级数及其审敛法(1) 一般概念定义 这种级数称为正项级数. ，中 各 项 均 有如 果 级 数 01nnuu定理 .有 界部 分 和 所 成 的 数 列正 项 级 数 收 敛 ns该定理说明若正项级数 发散，则 无界。1nun（2） 比较审敛法,且 ,若 收敛,则 收敛；均 为 正 项 级 数和设 11nnvu )21(vn1nv1nu若 发散，则 发散。1n1n比较审敛法的特点是，判断一个正项级数是否收敛需找一个已知收敛性的级数与之比较。因此，比较审敛法的不便之处在于需有参考级

6、数.在利用比较审敛法时要掌握一些已知其收敛性的级数，常用的参考级数有几何级数, P-级数, 调和级数：（i） 几何级数 当 时收敛，其和为 ；当 时发散。1naq1qa11(ii)P-级数 1,pn当 时 收 敛当 时 发 散（3）比较审敛法的极限形式 设 与 都是正项级数,如果 ,1nu1nvlvunlim则(i) 当 时, 二级数有相同的收敛性;l0(ii) 当 时，若 收敛, 则 收敛;l1nv1nu(iii) 当 时，若 发散, 则 发散;l1n1n比较审敛法用得比较多的是它的极限形式，利用极限形式可以省去放大与缩小不等式的麻烦。（4）比值审敛法(达朗贝尔 DAlembert 判别法)

7、 设 是正项级数,如果1nu 第十二章 无穷级数87, 则当 时级数收敛;当 或为 时级数发散; 当)(lim1为 数 或nu11时级数可能收敛也可能发散.利用比值审敛法判别级数的收敛性，只需要通过级数本身就可以进行，而不必象比较审敛法那样还必须找出一些收敛性为已知的其他级数，这是它的优点。当然，当极限不存在及极限 时比值审敛法失效，只能改用其他方法。1注意 (i)当 时比值审敛法失效; (ii)条件是充分的,而非必要.（5）根值审敛法(柯西判别法) 设 是正项级数,如果1nunulim,则 时级数收敛; 时级数发散; 时失效.)为 数 或1注意 (i)比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都只适

8、用于正项级数。(ii)对于同一正项级数，有时比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都行之有效， 但各种判别法的繁简程度可能不同。(iii)由于比较审敛法需要有一个已知其敛散的级数进行比较，因此在使用上有 时没有比值审敛法与根值审敛法方便；但比值审敛法与根值审敛法都是特殊形式的比较审敛法。因此，若比值审敛法与根值审敛法不能判定其收敛性的正项级数，可以考虑用比较审敛法判定其收敛性。3.交错级数及其审敛法定义 形如 的级数，即正、负项相间的级数 )1()1(nnnu或 )0(n其 中称为交错级数.莱布尼茨定理 如果交错级数 满足条件:nn1)(i) ;(ii) ,则级数收敛,且其和 ,其余项 的绝对值)

9、,321(nun 0limu1usnr.1r注意 若不满足莱布尼茨定理第二条，则级数一定发散；但满足第二条而不满足第一条的交错级数则不一定发散。4. 任意项级数及其审敛法定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理 若 收敛,则 收敛.1nu1nu高等数学学习指导88定义:若 收敛, 则称 为绝对收敛;0nu0nu若 发散,而 收敛, 则称 为条件收敛.1n1n1n5.函数项级数和幂级数(1) 一般概念定义 设 是定义在区间 上的函数,则 ),(),(21xuxun RI称为区间 上的(函数项)无穷级数. )()(211xunn I对函数项级数来说，在给定一个确定值之后，函数项级数即转化

10、为常数项级数。定义 如果 ,数项级数 收敛, 则称 为级数 的收敛点, 否Ix010)(nxu0x)(1xun则称为发散点. 函数项级数 的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体)(1n称为发散域.在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数.x)(s)(x（2） 幂级数及其收敛性定义 形如 的级数称为幂级数。其中 均为常数，nnxa)(00 ,210na称之为幂级数的系数。定理 (阿贝尔（Abel）定理) 如果级数 在 处收敛,则它在满0nxa)(0x足不等式 的一切 处绝对收敛; 如果级数 在 处发散,则它在满足不0x0n0等式 的一切 处发散. 0推论 如果幂

11、级数 不是仅在 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则0nxa0x必有一个完全确定的正数 存在,使得：当 时,幂级数绝对收敛; 当 时,幂RRRx级数发散; 当 时,幂级数可能收敛也可能发散. x与 第十二章 无穷级数89这个正数 R 称为幂级数的收敛半径。 由幂级数在 的收敛性就可以决定它在Rx区间 上收敛，这区间叫做幂级数的收敛区间。),(,(R规定：(i)若幂级数只在 处收敛,则 收敛区间只有一点 ;0x,00x(ii) 若幂级数对一切 都收敛,则 收敛区间为 .),(定理 如果幂级数 的相邻两项系数有 （或 ）,0nxana1limnali则 （i）当 时， ；1R(ii)当 时， ；

12、0(iii) 当 时， 。0应当指出的是，该定理是针对不缺项或仅缺有限项的幂级数而言的，而对缺无穷多项的幂级数，结论并不成立。（3） 幂级数的运算（i） 四则运算性质,则在（-R，R）内有212100 min,Rxbann 和的 收 敛 半 径 各 为和设如下代数运算性质:加减法 xbaxnnnn ,.000 乘法 0000)()( nnkknnn cba Rx,（其中 ）aknknnnnbc 010除法 (相除后的收敛区间比原00 0().nn nnxbxcb收 敛 域 内来两级数的收敛区间小得多)（ii）和函数的分析运算性质:性质 1 （连续运算）幂级数 的和函数 在收敛区间 内连续;若在

13、端点0nxa)(xs),(R高等数学学习指导90收敛,则在该端点单侧连续.性质 2 （微分运算）幂级数 的和函数 在收敛区间 内可导, 且有0nxa)(xs)(R并可逐项求导任意次. (收敛半径不变)()() 100 nnnxas该微分运算性质是说，收敛幂级数可以逐项微分，得到的新级数仍是幂级数，且新级数与原级数有相同的收敛半径，其和函数为原幂级数的和函数的导数。性质 3 （积分运算） 幂级数 的和函数 在收敛区间 内可积,且对0nxa)(xs)(R可逐项积分， (收敛半径不),(Rx .1)()( 000 nnxnx xadads即变)该积分运算性质是说，收敛幂级数可以逐项积分，得到的新级数

14、仍是幂级数，且新级数与原级数有相同的收敛半径，其和函数为原幂级数的和函数的相应区间上的积分。简单地说，就是幂级数在收敛区间内可以逐项求导或逐项积分，并且逐项求导或逐项积分后所得的幂级数的收敛半径不变，但在收敛区间的端点处，级数的收敛性可能会改变。利用这些运算性质，可以求幂级数的收敛区间及和函数。要注意以下几个常用已知和函数的幂级数：);1,(,10xn );1,(,1)(202xxnn);,(,!0exn ),(,si)!()1 nn。,),l(1)(50 xnn6幂级数展开式（1） 一般概念定义 对于函数 ，若存在 及幂级数 ，使 )(xf 0()xU00()nnax， ，则称 在点 处可以展开成幂级数。nnaxf)()(000()(f0 第十二章 无穷级数91定义 如果 在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点)(xf0 nnxf)(!00)( )(xf的泰勒级数。特别地， 称为 在点 的麦克劳林级数，也就是0x nnxf0)(!)(f0x的幂级数。（2） 充要条