第七章 傅里叶变换

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1、1第七章 傅立叶变换7.0 引言引言7.0.1 “变换”的概念在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用“变换”手段。例如初等数学中的利用对数将较复杂的乘、除运算化为较简易的加、减运算的做法，事实上就是一种变换，可称他为对数变换。详细说即，为求两数 与 之积 （商 ） ，可使用对数变换、变换后ABBA/的加（减）法运算、反对数变换三个步骤来完成：（1） 、对数变换：对已知的 、 分别求出对数 、 ；ABlg（2） 、变换后的加（减）法运算：求出两个对数的和 (差 )；llg（3） 、反对数变换：求出上述和（差）的反对数，即是 （ ）： /( )。 )l(gl1/1BAB这种方法总起

2、来说是根据定理：“积（商）的对数等于对数的和（差）： (BAll()”得出的。下图直观说明了对数变换的内在关系：BAlg)/lg(乘（除）运算 常规域中的运算： 正实数 A，B 积 AB（商 A/B）对数变换 lg（） 反对数变换 lg-1（）变换后之域中的运算： 对数 lgA、lgB 对数和 lgA+lgB=lg(AB)加（减）运算 ( 对数差 lgA-lgB=lg(A/B) ) 从数确定其对数值的变换称为正变换，从对数值确定其反对数值的变换称之为反变换或逆变换。数与其对数值在一定条件（即 、 为正实数）下是一一对应的。变换前的数常称为变换后的数的象原，AB变换后的数常称为变换前的数的象。再

3、例如解析几何中的坐标变换、复变函数中的保角变换等都属于这种变换，后面要谈的积分变换也是这样一类变换。当然，说变换方法能化复杂运算为简单运算，不仅仅是因为变换后的运算较简单，实际上还依赖于变换及反变换容易进行，或者虽不易进行，但却可行，并且已由人们造表（如对数表、积分变换表等） ，通过查表而显得容易罢了。另外，人们使用变换方法，有时并不是为了计算和求解容易，而是为了研究的容易。这时使用变换常常是为了容易提取研究对象的信息、规律。也即并不是为了直接去求解，而是通过变换建立一种数学模型，以供研究。这时并不追求变换与反变换的快、易，而是追求在正变换后而反变换前的象集中容易显示信息、容易分析研究问题而已

4、,此时甚至用不着去考虑反变换。例如自动控制理论中采用拉普拉斯变换建立数学模型传递函数后，立足于复频域中作研究的方法就是如此。7.0.2 “积分变换”的概念式子（1）badtKtfF),()(被用来定义函数 的积分变换。其中 是已知的关于 和 的一个二元函数，称为积分变换的核。)(tf ,t若 和 的值是有限的，则称 是 的有限积分变换，否则称为无限积分变换。可见，所谓积分变ab)(f换，就是通过含有参变量 的积分，把一个函数变成另一个函数的变换。或者说，就是把某函数类 中A的函数 通过上述积分的运算变成另一函数类 中的函数 。积分变换又称为运算微积。 称)(tf B)(F)(tf为象原函数，

5、称为 的象函数，在一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。当选取不F)(tf2同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。如傅立叶变换 ；dtefFi)(拉普拉斯变换 ；0tf汉克尔变换 ，0)()(dttJfn这里 是第一类 阶贝塞尔函数；)(tJnn梅林变换 ，01)(tfF等等。从泛函的角度看，积分变换是一类泛函。傅立叶变换和拉普拉斯变换都是一种泛函。这只要将（1）式改写成（当 看作变量， 看作参变量时） ，),(),()(1tfFdtKtfFba f或改写成（当 看作变量， 干脆被看作常量时） ，)(),()(2tfttfba f即可明白。要注意 、 、 等是不同的映射，它们

6、包含着不同的被看作是不动的部分。所谓 看作参F12 变量，即暂时看作常量（更妥当点，应说成“现时看作常量” ，至于以后，不排斥人们去考虑它作为变量）。也就是说，暂时固定 ，可将 看作泛函算符，这一算符再作用到函数 上，结果得出dtKba),()(tf的是对应于函数 的一个数 。)(tf tf还可以把积分变换看成是一类映射(因线性空间的映射称为算子，故线性空间的积分变换也说成是积分算子)。如前面就曾说（1）式将函数 变换成另一个函数 。这其实就是把 看作变量后而言的。)( )(F37.1 傅立叶积分与傅立叶定理傅立叶积分与傅立叶定理7.1.1 从傅立叶级数到傅立叶积分傅立叶级数能将周期函数进行谐

7、波分解，而傅立叶积分能将非周期函数进行谐波分解。说得更详细些，即傅立叶级数能将一个周期函数表示成无穷多个离散的频率为基频整数倍的谐函数之和，而傅立叶积分则能将一个非周期函数表示成整个连续的频率区间上的谐函数的积分。傅立叶级数还可表示成复数形式，由此又可导出傅立叶积分的复数形式，随之便产生了一种积分变换傅立叶变换及其逆变换。以上所说的傅立叶级数及傅立叶积分，只限于对函数进行谐函数或由它导出的复数形式（既虚指数函数 ）的分解。这种情况下，所说傅立叶级数及傅立叶积分可看作是狭义的。其实，以谐函数或虚tie指数函数作为函数分解的基底，只是一种特例。更一般地，可以任一种正交函数作为基底进行傅立叶分解。这

8、里正文主要讨论狭义的傅立叶级数及傅立叶积分，关于广义的针对一般正交函数的傅立叶分解，我们将在附录中给出初步的讨论。在数学分析课程中学习傅立叶级数时，我们已知有如下定理：傅立叶级数定理：任一个以 为周期的周期函数 ，如果在 上满足狄利克雷T)(tfT2,T（Dirichlet）条件（简称狄氏条件，即函数在 上满足：.连续或只有有限个第一类间断点；2,.只有有限个极值点） ，那么在 上就可以展成傅立叶级数。在 的连续点处，其傅立叶级2, )(tfT数的三角形式为（2）)sinco()(10 tbtatfnT ),321(其中， （ ）T2T（3）20)(dtfa（4）)cosTn tntf（5）2

9、i()Tdttfb称为角频率或圆频率， 称为频率；式（3） 、 （4） 、 （5）称为函数 的傅立叶系数。)fT由（3） 、 （4） 、 （5）这三个式子可见，傅立叶系数 （可将 合并到 中去，合并后 ）na0na,3210n和 都是 （或 ）的函数，其中 是 的偶函数，即有nbna；n而 是 的奇函数，即有n。nb如果把式（2）中的同频率项合并，则式（2）可改写成（根据三角函数二角和公式： )cos(）：sincos )2cos()cos(2)(110 tAtAtfT也即4（6）10)cos(2)(nnTtAtf 其中（7）nnabArctg,23 ,20由式（7）可见， 是 的偶函数，即有

10、nA；n而 是 的奇函数，即有n。n如果将式（6）化为式（2） ，系数关系为：nnAbasi1,23 ,co0由式（6）可见，任何满足狄氏条件的周期函数可分解为一系列谐函数分量之和。其中第一项 是20A常数项，它是周期函数的直流分量。结合（3）式看， ，可知它实际上就是函数20)(12Tdtfa在区间 内的平均值。式中第二项 称为基波分量或一次谐波分量，它的角)(tfT2,T )cos(11tA频率 （可称之为基波角频率或简称为基角频）与原周期函数的相同， 是基波振幅， 是基波初相位。 1A1式中第三项 称为二次谐波分量，它的频率是基波频率的二倍， 是二次谐波振幅，)cos(tA 2是其初相位

11、。一般而言， 称为 n 次谐波分量，其角频率为 ，其振幅为 ，2 )cs(nt nnA其初相位为 。 （6）式表明，周期函数可被分解为各次谐波之和，并且这些谐波的角频率是基波角频n的整数倍。以上的式（2）或式（6）称为傅立叶级数的三角形式或傅立叶级数的实数形式。这种形式虽意义比较明确，却运算不便，因而常把实数形式转换为（虚）指数形式或称复数形式。这只要利用欧拉公式 sincoei或，)(21cosii )(21iie即可： )sinco()(10 tbtatfnT )(212 tintititin ee（8）)()(210 tintinn baba如果令（9）20)(Tdtfc5（10）),3

12、21( )(1sincosi)()(12222dtetfTdtttf ttfittfTibacinTnn（11）2Ttinnn defibac),321(而 、 、 可合写成一个式子：0cn（12）dtetfTinn2)(1),10(若又令n ),2(则（2）式从而（8）式可写成10)(ntintiTnecctf ),321(n或（13）ntiTnetf)( ),210(或（14）tinTiT nnedftf )(1)(2这就是傅立叶级数的（虚）指数形式或说傅立叶级数的复数形式 1。 称为函数 的复傅立叶系数。c)(tfT为了与后续要讲的傅立叶变换的符号统一，可将复傅立叶系数“ ”写成“ ”或

13、“ ”（注意，nF)n在后面要讲的傅立叶变换中， 是变量，而 这里傅立叶级 数中的 却是常量，变量是 ，所以不妨随着 而把常量的 带到 中去以 做为自变量） 。)(nF由式（10） 、式（11） ，我们还容易得出如下的一些系数关系：；nnnAbac2121| （即 和 是共轭复数） ；n；nnrctgArtg nniiin eAec21|c 在（13）式中，单独一项 （或写作 ）并非谐波分量，而是一虚指数函数，只有下标为tintin和 的两项之和才组成一个谐波分量，即在复数形式中，第 次谐波为 （或写作n tintinec1 虚指数 的样子看起来，整个式子带一个 ，好象是个纯虚数，但由欧拉公式

14、又恰可说明它一般是个复数而不是虚数，iei注意这个 是作为 的指数而不是作为一个系数。从函数角度看，虚指数函数 是实变量 的复函数。当然，将虚指数tinet说成是复指数也是对的。6） 。这是因为有tintinectintinectinitineAe2121)()( nntiti cosn这也显示了同一个 的两个复数加起来能得到一个实数，从而说明了为什么可以将一个实函数 展开n )(tf为复数。这还说明了另一层意义：虽然在复数形式中引用 从而出现了 ，但这并不表示存在着什么负频率（考虑频率物理意义，频率应该总是非负的） ，而只是将实的第 次谐波分量分写成两个复数项n后出现的一种数学形式。总之，由

15、上可知，任意周期函数 可被分解为许多不同频率的虚指数函数 的线性组合，其)(tfT tine各量的复数幅值（又称为复数幅度或复数振幅）为 。nc以上讨论了周期函数的傅立叶分解（或说展开） 。下面讨论非周期函数的傅立叶分解。任何一个非周期函数 都可被看作是由某个周期函数 当 时转化而来的。为了说明)(tf )(tfT这一点，我们作周期函数为 的函数 ，使其在 之内等于 ，而在 之外按周期)(tfT2,)(tf)2,T延拓到整个数轴上，如图 1 所示。显然， 越大， 与 相等的范围也越大，这表明当)(tfTf时，周期函数 便可转化为非周期T)(tfT函数 ，即有)(tf )(limtf这样，在（14）式中令 时，结果就可