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1、考试科目 835 线性代数 考试形式 笔试（闭卷）考试时间 180 分钟 考试总分 150 分一、总体要求对线性代数基本概念把握准确，掌握线性代数课程中的基本理论和基本方法，考查综合运用所学知识解决问题的能力。二、内容1. 行列式1) 掌握行列式的基本计算方法与行列式的性质，理解和运用拉普拉斯（Laplace）定理与行列式的乘法定理，能应用克兰姆法则解非齐次线性方程组；2) 会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。2. 线性方程组1) 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件
2、；2) 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。3) 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。4) 掌握求解一般线性方程组的典型方法。3. 矩阵1) 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。2) 掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。了解方阵的多项式概念。3) 理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的判别条件，理解伴随矩阵的概念，掌握求矩阵逆的方法。4) 掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的条件，理解矩阵的秩的概念，了解矩阵的秩与行列式的关系。理解和运
3、用关于矩阵乘积的秩的定理，了解 n 阶方阵非退化的概念及充分必要条件，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。5) 了解矩阵的分块及其运算。4. 二次型1) 掌握二次型及其矩阵表示，理解非退化线性替换与矩阵合同的概念及性质，了解二次型的非退化线性替换与二次型矩阵合同的关系。2) 理解二次型的标准形、秩、规范形的概念以及惯性定理，了解唯一性。3) 理解二次型及实对称矩阵正定的概念及性质，掌握二次型及实对称矩阵正定的判别法。5. 线性空间1) 理解线性空间的概念 掌握线性子空间的判定方法。2) 理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。 理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量
4、组线性相关、线性无关的方法。3) 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。4) 理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。5) 理解线性空间的维数、基和坐标。6) 掌握线性空间的基变换和坐标变换及过渡矩阵。7) 理解生成子空间的概念，掌握求子空间基和维数的方法。8) 理解子空间的交、和、直和运算及其性质，掌握求子空间交、和的基的方法。9) 了解线性空间同构的概念。6. 线性变换1) 理解线性变换的概念，了解线性变换的性质。2) 熟悉线性变换的运算及其性质。3) 理解线性变换的矩阵，了解线性变换与矩阵的对应。4) 理解线性变换及其矩阵的特征值、特征
5、向量、特征多项式的概念及性质，会求线性变换及矩阵的特征值和特征向量。5) 了解关于特征多项式的 Hamilton-Caylay 定理，了解矩阵的迹。6) 理解线性变换的特征子空间、线性变换的不变子空间的概念。7) 理解矩阵相似的概念、性质及矩阵可对角化的充分必要条件。掌握将矩阵化为对角矩阵的方法。8) 理解线性变换的值域、核、秩、零度的概念。9) 了解矩阵的若当（Jordan）标准型。10) 理解线性变换的最小多项式，了解最小多项式与对角化之间的关系。7. 欧几里德空间1) 掌握线性空间内积的概念及性质，理解欧几里德空间的概念，了解欧几里德空间中向量的正交，了解欧几里德空间中基的度量矩阵及其用
6、途。2) 理解标准（规范）正交基的概念，掌握标准（规范）正交基的求法（施密特正交化过程），了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。3) 掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。4) 理解正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系。5) 理解正交子空间、正交补的概念及性质。6) 了解同构的概念与最小二乘法。7) 了解欧几里德空间同构的概念和性质，了解有限维欧几里德空间同构的充分必要条件。8) 理解双线性函数的概念和性质，理解对偶空间的定义及性质，了解双线性函数非退化的充分必要条件，了解对称与反对称的双线性函数。三、题型及分值比例证明题（6
7、0%）计算题（40%）考试科目 601 数学分析 考试形式 笔试（闭卷）考试时间 180 分钟 考试总分 150 分一、总体要求主要考察学生对数学分析的基本知识、基本理论和基本技能的掌握情况以及用数学分析的理论与方法分析问题、解决问题的能力.二、内容1. 集合与函数1） 实数集 R、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、单调有界性定理、闭区间套定理、Bolzano-Weierstrass 定理、Cauchy 收敛原理.2） 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 Rn上的闭矩形套定理、Heine-Borel 定理(有限覆盖定理)以及上述概念和定理在
8、n上的推广.3） 函数、映射、变换等概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 2. 极限与连续1） 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2） 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限 1lim()nne及其应用.3）一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性） ，Heine 归结原则和 Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin10l,li()xxe及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比
9、较，记号 O 与 o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4） 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性） ，有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.3. 一元函数微分学1）导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2）微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与 Lagrange 余项).3）一元微分学的应用：函数单调性的判
10、别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（LHospital）法则、近似计算.4. 多元函数微分学1） 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与 Taylor 公式.2） 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3） 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4） 极值问题（必要条件与充分条件） ，条件极值与 Lagrange 乘数法。5
11、. 一元函数积分学1）原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法） 、有理函数积分： (cos,in)Rxd型， 2(,)Rxabcdx型.2）定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件： i） 、可积函数类.3）定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理） 、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4） 无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、 ()fx非负时()afxd的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法） 、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、无界函
12、数广义积分概念及其收敛性判别法.5）微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积） ，其他应用。6. 多元函数积分学1）二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2）三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3）重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4）第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.5）第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.6）曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，Gauss 公式、Stokes 公式，两类线积分、两类面积
13、分之间的关系.7）含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.7. 无穷级数1）数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的 Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、Dirichlet判别法.2）函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法） 、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3）幂级数幂级数概念、Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数的和函数的求法，函数的幂级数展开.4）Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2 及 2l周期函数的 Fourier 级数展开、 Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue 定理、按段光滑函数的 Fourier 级数的收敛性定理.三、题型及分值比例填空题：（15%）简答题：（55%）计算题：（30%）
