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1、02-1,第三章 Present Value 现值,用 x=(x0, x1, . , xn) 表示一个现金流 。我们需要找到办法来比较不同的现金流。 折现因子 Discount factors 和 利率 Interest rates 可以在时间轴上移动现金流.,02-2,术语 Terminology,02-3,Present Value and Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward
2、 rate,02-4,折现因子 Discount factor,对应某特定期间的折现因子，是指该期间结束时所收取1元的现值。将t年期的折现因子表示为d(t)。 d(0.5) 0.9825 表示6个月后收取的1元，现值0.9825元。 某证券6个月后收取的105元，现值多少？ 105 d(0.5) 1050.9825103.16元。 当前投资1元，6个月后回收 1/ d(0.5) =1.02元,02-5,Discount factor,国债 Bonds 在以下的讨论里都是没有信用风险的（defaultfree） 对于一般的国债，现金流包含3个要素： 面值 face value or par va
3、lue 票息 coupon rate 到期日 maturity day,02-6,在94年2月15日 购买了一种国债（付息债券），面值10000元，票息4.375%, 到期日是96年8月15日。购买者在此之前每年收到利息，并在到期日收到10000元的本金。市场惯例，每年的利息分两次支付，即每6个月付218.75元。,218.75,218.75,218.75,218.75,10218.75,94.2.15,94.8.15,95.2.15,95.8.15,96.2.15,96.8.15,02-7,票息率 到期日 价格 6.875 94.8.15 101:20 5.5 95.2.15 101:18
4、4.625 95.8.15 100:21 4.625 96.2.15 100:12 4.375 96.8.15 99:15 比如最后一行的债券，指100元的面值，当前价格为 9915/32=99.46875元,表3.1 报价日：94.2.15,02-8,折现因子可以由国债价格表计算：参考表3.1 第一行 第二行 6个月后的收益：2.75 1年后收益： 1002.75 所以现值 可以算出d(1)=0.9621 d(1.5)=?,02-9,02-10,表3.2 ：根据表3.1计算的折现因子 T d(t) 0.5 0.9825 1 0.9621 1.5 0.9399 2 0.9159 2.5 0.8
5、920,02-11,d(t),1,0,T 年,28,20,图3.1 30年之后将收取的1元，现值仅有0.14元,02-12,Present Value and Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward rate,02-13,即期利率与远期利率,折现因子可以用来给资产定价，但使用更多的还是利率。 重点介绍即期利率 spot rate与远期利率 forward rate，并说明如何根据债券
6、价格来计算这两个利率，及其功能。,02-14,即期利率,是指放款者在签约当时立即提供资金给借款者，所约定的利率。 t年的即期利率定义为 ，将其视为t年期每半年复利一次的名义利息率。,面值:100元,小于100元,02-15,Spot rate,由于多数债券是每半年支付票息一次，所以投资者关心半年一次的复利率。已知折现因子d(t)表示t年之后的1元的现值，因此有：,02-16,表3.3 根据表3.2折现因子所推算的即期利率 T d(t) % 0.5 0.9825 3.567 1 0.9621 3.896 1.5 0.9399 4.178 2 0.9159 4.443 2.5 0.8920 4.6
7、22,02-17,Spot rate,10%,0,T 年,28,20,4%,4,12,图3.2 94.2.15的即期利率,02-18,即期利率与到期期间的关系，通常被成为“即期利率的期限结构” term structure of spot rate,根据图3.2显示，即期利率最初具有斜率向上的期限结构，但大约到第23年后，即期利率具有斜率向下的趋势 downward sloping,02-19,零息债券,零息债券 zero coupon bond 指只在到期日支付面值的债券。 零息债券的价格相当于折现因子。 零息债券的收益率相当于即期利率。 零息债券可以通过票息债券 coupon bond的组
8、合获得,02-20,经分割的现金流：,52.5,52.5,52.5,1000,94.2.15,94.8.15,95.2.15,95.8.15,02-21,把票息债券组合成零息债券,价格:,票息:,面值:,可以组合一个 zero coupon bond, 使C0=0, F0=$100,解出x和y.组合而成的零息债券的价格 xP1+yP2,02-22,Example,Bond 1: 10 year, 10% coupon, P1=98.72元,Bond 2: 10 year, 8% coupon, P2=85.89元 面值100元,Portfolio: x Bond 1, y Bond 2.,构建
9、的零息债券价格:,xP1+yP2=34.57元,02-23,面值100元票息4.625到期日95.8.15的债券，用折现因子表示，在94.2.15日的价格为 2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5),使用即期利率，则债券现值又可以表示为,02-24,以这种方式表示，说明现金流量根据发生当时的即期利率来折现。换句话说，投资者对于不同时期发生的现金流量，将赚取不同的报酬率,02-25,表3.3 根据表3.2折现因子所推算的即期利率 T d(t) % 0.5 0.9825 3.567 1 0.9621 3.896 1.5 0.9399 4.178 2 0.9159
10、 4.443 2.5 0.8920 4.622,远期利率 forward rate,02-26,（一）六个月期的债券 收益率 A(1+ 3.567%2) 一年期的债券 前六个月的收益率 A(1+ 3.896%2) （二） 一年期债券 收益率 A(1+ 3.896%2)2 两年期债券 第一年的收益率 A(1+ 4.443%2)2,02-27,购买1年期债券的投资者，在前6个月获得较高的年利率3.896%，是因为相当于承诺在6个月结束时，继续将贷款延展半年。这种隐含的承诺就是一个远期贷款。 远期贷款，在未来某日期开始放款的契约。在远期贷款签约当时（而不是放款的当时），所定的利率称为“远期利率” f
11、orward interest。,02-28,我们定义r(t)为目前对于由第t-0.5年起算而至第t年之贷款所适用的年利率。 r(1.5)就是指由第1年起算的6个月期远期年利率。,r(0.5),94.2.15,94.8.15,95.2.15,95.8.15,r(1),r(1.5),96.2.15,r(2),02-29,远期利率的计算方法：,(1),(2),(3),(4),02-30,表3.4 根据表3.3的即期利率推算远期利率,T % r(t) % 0.5 3.567 3.567 1 3.896 4.226 1.5 4.178 4.743 2 4.443 5.239 2.5 4.622 5.3
12、42,02-31,图3.3 即期利率与远期利率曲线,rate,10%,0,T 年,28,20,4%,4,12,即期利率,远期利率,02-32,面值100元票息4.625到期日95.8.15 的债券，在94.2.15日价格可以表示为 1、 2.3125d(0.5)+2.3125d(1)+102.3125d(1.5),2、,3、,02-33,Present Value and Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Sp
13、ot and forward rate,02-34,内部收益率 Internal Rate of Return,用 x=(x0, x1, . , xn) 表示现金流. 内部收益率指能够满足下式的r,02-35,Example,对现金流 (-2,1,1,1)，它的内部收益率是多少?,Solve:,Question: 这个多项式只有惟一的正解吗?,Answer: This can be a problem.,02-36,关于 IRR的一个重要结论,Proof: plot,increasing.,如果现金流 x=(x0, x1, ., xn) 有x0 0 至少有一项是正的. 那么对以下方程式就有惟一
14、的正解:,02-37,内部报酬率实际上就是到期收益率 (yield to maturity) 到期收益率的作用： 1、债券报价的另一种形式 2、判断债券是折价还是溢价 3、判断债券价格低估还是高估,02-38,由到期收益率的定义，假定T年期国债的面值为1元，票息率为c，则价格为,上式又可以表示为，,02-39,1、如果 c=y，则P=1。票息利率等于到期收益率，则债券价格等于面值。 2、如果cy，则P1。票息利率大于到期收益率，则债券将有溢价 premium 3、如果cy，则P1。债券将有折价discount 4、对于长期债券，T非常大，价格接近c/y。永续债券 perpetuity,02-40,Present Value and Internal Rate of Return,Present Value (PV),Internal Rate of Return (IRR),Cash Flow Evaluation,Discount factor,Spot and forward rate,02-41,Example：When to cut a tree？,种树为了卖木材赚钱，有两种砍伐方案:,(1) After
