空气动力学基础 第三章理想不可压缩流体平面位流,（6学时）,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,第3章 理想不可压缩流体平面位流,3．1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 3．2 几种简单的二维位流 3．2．1 直匀流 3．2．2 点源 3．2．3 偶极子 3．2．4 点涡 3．3 一些简单的流动迭加举例 3．3．1 直匀流加点源 3．3．2 直匀流加偶极子 3．3．3 直匀流加偶极子加点涡 3．4 二维对称物体绕流的数值解,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程,对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求解这些方程但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的 为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动 这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。
2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程,1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程 初始条件和边界条件为 在t=t0时刻， 在物体的边界上 在无穷远处,思考： 为什么需要边界条件？,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,如果没有无旋条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度 V 和压强 p 相互耦合影响，需要一并求出但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是可将速度和压力分开求解这是因为，对于无旋运动情况，流场的速度旋度为零，即 存在速度势函数（位函数）为,思考： 速度和压力需要耦合求解是什么意思？,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到：,由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程如果对这个方程赋予适当的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。
与压强p没有进行耦合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，解出p值实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为 对于定常流动，质量力只有重力，得到 如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力）,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到在这种情况下整个求解步骤概括为： （1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量； （2）由Bernoulli方程确定流场中各点的压强这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性综合起来对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及其初边界条件为,初始条件为 边界条件为,在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。
对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远3.1、平面不可压位流的基本方程 （边界条件）,按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：,（1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值 （2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值 （3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值 空气动力问题大多数属于第二边值问题,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，速度为 V∞ ，内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面法向速度为零 外边界 内边界 n为物面法向 可以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上述条件，则解是唯一的 求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,2、速度势函数的性质 （1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。
由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响流体的运动2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数满足解的线性迭加原理如果速度势函数满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方程3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线 （4）连接任意两点的速度线积分等于该两点速度势函数之差速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置如果是封闭曲线，速度环量为零2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,3、流函数及其性质 根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系） 如果令 由此可见，下列线积分与路径无关（围绕封闭曲线的线积分为零）,存在的充分必要条件是,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,这是不可压缩流体平面流动的连续方程这样下列微分一定是某个函数的全微分，即 这个函数称为流函数由此可见，对于不可压缩流体的平面流动（二维问题），无论是理想流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。
思考： 为什么二维流动一定存在流函数？,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,流函数的概念是1781年Lagrange首先引进的流函数具有下列性质 （1）流函数值可以差任意常数而不影响流动 （2）流函数值相等的点的连线是流线即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合 在流函数相等的线上，有 上式即为平面流动的流线方程2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（3）流函数在某一方向的偏导数等于顺时针旋转90度方向的速度分量 根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转90度取n方向，则有 （4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（5）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交） 等流函数线是流线，有 另一方面，过该点的等势函数线方程为 在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为 说明流线与等势线在同一点正交2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（6）流网及其特征 在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。
这样在流场中存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相互正交把由这种正交曲线构成的网格叫做流网在流网中，每一个网格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,流网不仅可以显示流速的分布情况(方向），也可以反映速度的大小如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量即 表示流速与相邻流线的间距成反比，因此流线的疏密程度反映了速度的大小2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.1、平面不可压位流的基本方程,（1）以速度势函数为未知函数的提法 （2）以流函数为未知函数的提法 （3）以复位势w(z)为未知函数提法,理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法 共有三种数学提法设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求这个绕流问题需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数位函数Φ的性质小结,速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动 (2) 速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函数的数值沿着流线方向增加。
(3) 对于理想不可压缩无旋流动，从连续方程出发，速度位函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原理 (4) 速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速度方向垂直于等位线 (5) 连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位函数之差速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置对封闭曲线，速度环量为零流函数Ψ的性质小结,(1) 流函数由平面不可压缩流动的连续条件定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动 (2) 等流函数线是流线即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合 (3) 对于理想不可压缩平面无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理位函数 Φ 和流函数 Ψ 之间满足柯西-黎曼条件：,速度分量与位函数和流函数之间的关系是：,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,1、直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动 其流速为 位函数为 常用平行于 x 轴的直匀流，从左面远方流来，流速为 相应的流函数和势函数为,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,2、点源 源可以有正负。
正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有 ，而没有 设半径为r处的流速是 vr，那么这个源的总流量是,流量是常数，故流速 vr 与半径成反比流函数的表达式是 或,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,位函数从 的式子积分得到 在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导数关系式为,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,如果源的位置不在坐标原点，而在A点（ξ,η）处,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,3、偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在 x 轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处从源出来的流量都进入汇2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,应用叠加原理，位函数和流函数如下 其中 表示流场点 P 分别与源和汇连线与x轴之间的夹角 现在我们考虑一种极限情况，当h→0，但同时Q增大，使,2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,保持不变的极限情况。
这时位函数变成： 对偶极子而言，等位线是一些圆心在 x 轴上的圆，且都过原点2010年版本,北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课,3.2、几种简单的二维位流,偶极子的流函数: 取 h→0而 Qh/2π=M 保持不变的极限结果，是,流线也是一些圆，圆心都在 y 轴上，且都过源点O： 两个分速的表达式是： 合速度为：,2010年版本。