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1、弹性杆件横截面上的 切应力分析,第5章,1、切应力互等定理、剪切虎克定律,2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析,4、基于最大切应力的强度计算,5、结论与讨论,3、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心,传动轴,请判断哪些零件 将发生扭转变形,切应力互等定理、剪切虎克定律,切应力互等定理、剪切虎克定律,请判断哪些截面 将发生剪切变形,两类切应力：扭转切应力、弯曲切应力；,请判断轴受哪些力 将发生什么变形,Mn,x,z,切应力互等定理、剪切虎克定律,考察承受切应力作用的微元体,切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，切应力成对存在，两应力垂直于两个平面的交线，共同指向或者背离该交线： = ,切
2、应力互等定理、剪切虎克定律,剪切胡克定律： 弹性范围内，切应力与切应变成正比,式中 G 为材料的剪切弹性材料的模量， 为剪切应变。 弹性模量、泊松比、剪切弹性模量三个常数存在如下关系，只有两个是独立的。,t,t,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,请注意圆轴受扭转后表面的矩形将发生什么变形？,Mx,平面假设：圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且只能发生刚性转动。,Mx,横截面是刚性转动，直径始终是直线。,观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这些直线的环线在扭矩作用下的变化。 圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环线没有变化，小矩形ABCD变形为平行四边形ABCD。,t,t,A,B,C,D,圆轴扭转时横截面上
3、的切应力分析,1、应变特征 两轴向间距为dx的截面相对转角为 d ,考察微元 ABCD 的变形得： 圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性分布。,r,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,r,2、切应力分布特征 由剪切虎克定律得： 圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。 由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上也存在着切应力。,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,3、切应力公式 切应力在圆轴横截面上的和就是该横截面上的扭矩。 得： 4、最大切应力 圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。,Wp 扭转截面系数,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,例题5-1、图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将其一半功
4、率传递给C轴，另一半传递给H轴。已知：P114kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大切应力。,解：1、计算扭矩 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min Mx1=954914/120=1114 N.m Mx2=95497/120=557 N.m Mx3=95497/360=185.7 N.m 2、计算各轴的最大切应力,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,1、切应力流 承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪力相对应的切应力有下列显著特征： 杆件表面无切应
5、力作用，由切应力互等定理，薄壁截面上的切应力必定平行于截面周边的切线方向，并且形成切应力流。 切应力沿壁厚方向均匀分布。,薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力,以如图壁厚为 的悬臂梁槽钢为例， 考察x方向平衡,薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力,薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力,2、弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方向，故切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化，将得到不同的结果。如果向某一点简化结果所得的主矢不为零而主矩为零，则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁的弯曲中心并不在形心上，因此外力作用在形心上时主矢不为零而主矩也不为零，梁就会发生弯曲和扭转变形。
6、,薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心,弯曲中心： 以图示薄壁槽钢为例，先分别确定腹板和翼缘上的切应力： 由积分求作用在翼缘上的合力FT ：,薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心,y,s,y,y,z,z,c,c,z,c,M,作用在腹板上的剪力为FQ ;将FT 和FQ 向截面形心 C 简化，可以得到主矢FQ 和主矩M ； 其中M=FT h+FQe； 将FT 、FQ 向O点简化使M=0；点O即为弯曲中心。 常见薄壁截面弯曲中心位置可以查表5-1。 为了避免型钢的这类问题发生，工程中薄壁截面梁一般采取复合梁，如图示。,薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心,y,s,y,y,z,z,c
7、,c,z,c,M,薄壁截面梁弯曲切应力公式可以推广应用到实心截面梁。 1、宽度和高度分别为b和h的矩形截面（如图） 实心截面梁的弯曲切应力误差分析: 在常用尺寸范围有较好精度。,薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁,b,h,h/b,2、直径为 d 的圆截面(如图) 注意切应力方向，在横截面边界上各点的切应力沿着边界切线方向。（如图所示） 3、外径为D、内径为d的空心圆截面(如图),薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁,4、工字形截面 工字形截面由上下翼缘和之间的腹板组成，竖直方向的切应力主要分布在腹板上。 5、弯曲实心截面正应力与切应力的量级比较，如图 梁是细长杆（如L=10d
8、），则弯曲正应力为60倍切应力值，切应力是次要因素。,薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁,弯曲构件横截面上最大切应力作用点一般没有正应力作用。为了保证构件安全可靠，必须将最大切应力限制在一定数值以内，即 对于静载荷作用，扭转许用切应力与拉伸许用正应力存在如下关系：,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,如图联轴器已知：最大功率 P7.5kW, 转速n=100r/min,轴的最大切应力不得超 过 40MPa ,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。 求: 实心轴的直径 d1 和空心轴的外直径 D2 。,例5-2、,圆轴扭转时横截面上的切应力分析,解：1、计算轴的扭矩 2、计算轴的直径 3、二轴
9、的横截面面积之比：,讨论：弹性杆件横截面上的各种内力与应力,x,x,x,x,x,x,Fn,Mn,Fqy,Mz,Fqz,My,z,z,z,z,y,y,轴的内力对应的应力： 轴力FN引起的正应力： 扭矩Mn引起的切应力： 剪力Fqy引起的切应力： 弯矩Mz引起的正应力: 剪力Fqz引起的切应力： 弯矩My引起的正应力:,轴的受力图,变形特征 翘曲、平面假设不成立；,角点切应力等于零;,边缘各点切应力沿切线方向;,最大切应力发生在长边中点.,切应力分布,长边中点处：,短边中点处 ：,角点切应力等于零,边缘各点切应力沿切线方向,1、扭转切应力与弯曲切应力布及其分析方法的差异；对于 实心截面杆，扭转与弯曲切应力量级上的差异。,3、实心截面杆与开口薄壁截面杆弯曲切应力的差异。,4、实心截面梁弯曲切应力一般不计算；扭转切应力必须计算。,2、圆截面杆与非圆截面杆扭转切应力的差异。,本章作业,5- 4 ，5 - 5，5 16，5-17,
