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1、第二章 2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， 12 (,) p XXXX的 联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 12 (,) p XXXX的子向量的 概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。 2.2 设二维随机向量 12 ()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设 12 ()XX的均值向量为 12 ，协方差矩阵为 2 112 2 212 ，则其联 合分布密度函数为 1/2 1 2 22 112112 22 212212 11 ( )exp()() 22 f xxx。 2.3 已知随机向量 12
2、()XX的联合密度函数为 1212 12 22 2()()()()2()() ( ,) () () dc xaba xcxa xc f x x badc 其中 1 axb， 2 cxd。求 （1）随机变量 1 X和 2 X的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 1 X和 2 X的协方差和相关系数； （3）判断 1 X和 2 X是否相互独立。 （1）解：随机变量 1 X和 2 X的边缘密度函数、均值和方差； 1 1212 1 22 2()()()()2()() () () () d x c dc xaba xcxa xc fxdx badc 12212 2 2222 2()()2()()2
3、()() () ()() () d d c c dc xa xba xcxa xc dx badcbadc 121 2222 0 2()()2()2() () ()() () d d c c dc xa xba txa t dt badcbadc 22 121 2222 0 2()()()2() 1 () ()() () d cd c dc xa xba txa t badcbadcba 所以 由于 1 X服从均匀分布，则均值为 2 ba ，方差为 2 12 ba 。 同理， 由于 2 X服从均匀分布 2 1 2 1 , () 0 x xc d fxdc 其它 ， 则均值为 2 dc ， 方差
4、为 2 12 dc 。 （2）解：随机变量 1 X和 2 X的协方差和相关系数； 12 cov( ,)x x 1212 1212 22 2()()()()2()() 22() () db ca dc xaba xcxa xcabdc xxdx dx badc ()() 36 cd ba 12 12 cov( ,)1 3 xx x x （3）解：判断 1 X和 2 X是否相互独立。 1 X和 2 X由于 12 1212 ( ,)( )() xx f x xfxfx，所以不独立。 2.4 设 12 (,) p XXXX服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相 互独立的随机变量。 解：
5、 因为 12 (,) p XXXX的密度函数为 1/2 1 1 11 ( ,.,)exp()() 22 p p f xx x x 又由于 2 1 2 2 2 p 222 12p 2 1 2 1 2 2 1 1 1 p 则 1 ( ,.,) p f xx 2 1 1/2 2 2221 2 12 2 1 1 11 exp()() 22 1 p p p x x 2 22 1 2311 12 222 12 () ()()1111 exp. 2222 p pp p p x xx 2 1 2 1 ()1 exp(). () 22 p ii p i i i x f xf x 则其分量是相互独立。 2.5由
6、于 多 元 正 态 分 布 的 数 学 期 望 向 量 和 均 方 差 矩 阵 的 极 大 似 然 分 别 为 1 n i i n XX 1 ()() n ii i n XX XX 35650.00 12.33 17325.00 152.50 X 201588000.0038900.0083722500.00-736800.00 38900.0013.06716710.00-35.80 83722500.0016710.0036573750.00-199875.00 -736800.00-35.800-199875.0016695.10 注：利用注：利用 1 1 pn n 1XX, S 1 (
7、) nnn n 1 1X IX 其中其中 10 01 n I 在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下： 1. 选择菜单项 AnalyzeDescriptive StatisticsDescriptives， 打开 Descriptives 对话框。 将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。 图 2.1 Descriptives 对话框 2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话 框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按 钮返回主对话框。 图 2.2 Options 子对话
8、框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2） 。 表 2.1 样本均值向量 在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项 AnalyzeCorrelateBivariate，打开 Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.3。 图 2.3 Bivariate Correlations 对话框 2. 单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择 Cross-p
9、roduct deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差 阵，如图 2.4。单击 Continue 按钮，返回主对话框。 图 2.4 Options 子对话框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给 出相关分析表，见表 2.2。表中 Covariance 给出样本协差阵。 （另外，Pearson Correlation 为皮尔逊相关系数矩阵， Sum of Squares and Cross-products 为样本离 差阵。 ） 2.6 渐近无偏性、有效性和一致性； 2.7 设总体服从正态分布，( ,) p NX ，有样本 12
10、,., n X XX。由于X是相互独立的正 态分布随机向量之和，所以X也服从正态分布。又 111 ( ) nnn ii iii EEnEnn XXX 22 111 11 ( ) nnn ii iii DDnD nnn XXX 所以( ,) p NX 。 2.8 方法 1： 1 1 ()() 1 n ii i n XX XX 1 1 1 n ii i n n X X XX 1 1 ( )() 1 n ii i EEn n X XXX 1 1 1 n ii i EnE n X XXX 1 11 (1) 11 n i nn nnn 。 方法 2： 1 () n ii i SX -X)(X -X 1
11、( n ii i X -X)X -X) 11 ()()2()()() nn iii ii n X - X -X - X-X)(XX 1 ()()2 ()() n ii i nn X - X -X)(XX)(X 1 ()()() n ii i n X - X -X)(X 1 1 ()()()() 11 n ii i EEn nn S X - X -X)(X 1 1 ()()() 1 n ii i EnE n X - X -X)(X。 故 1n S 为的无偏估计。 2.9.设 (1)(2)( )n X ,X,.,X是从多元正态分布( ,) p NX 抽出的一个简单随机样本， 试求S 的分布。 证明
12、： 设 * * ()* 111 ij nnn 为一正交矩阵，即 I。 令 12n12n = ( ) = XXX， (1,2,3,4,),in i X由于独立同正态分布 且 为正交矩阵 所以 12 () n 独立同正态分布。且有 1 1 n ni in ， 1 1 ()() n ni i EEn n ，()Var n Z。 1 ()()(1,2,3,1) n aajj j EEran 1 1 n aj j n n r 1 0 n aj nj i nr r 1 ()() n aajj j VarVarr 22 11 nn ajjaj jj r Varr 所以 121n 独立同(0,)N分布。 又因为 1 ()() n jj i SXX XX 1 n jj j n X X XX 因为 11 11 nn iinn ii nnnn nn XXXXZ Z 又因为 n n n j jj X X X XXXXX 2 1 21 1 1 2 12n n X X
