《自动控制原理第九章状态空间分析方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理第九章状态空间分析方法（217页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章,状态空间分析方法,第9章 状态空间分 析方法,基本要求,9-1 状态空间方法基础,9-2 线性系统的可控性和可观性,9-3 状态反馈和状态观测器,9-4 有界输入、有界输出的稳定性,9-5 李雅普诺夫第二方法,返回主目录,引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。,基本要求,掌握由系统输入输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。 正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩
2、阵的关系。 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。,返回子目录,熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。 正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。,熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统
3、, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。,9-1 状态空间方法基础,在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。,返回子目录,一、状态空间的基本概念,已知 时状态， 时的输入，可确定 时任一变量的运动状况。,对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，
4、状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。,例9-2,设一RLC网络如图所示。 回路方程为,图9-2 RLC网络,选择状态变量,则有,写成,输出,若选另一组状态变量,则有,若给出 (t=0) 时的初值 、 、 、 和 时就可确定系统的行为。,单输入-单输出线性定常系统,选取状态变量,二、系统的状态空间表达式,（9-17）,或写成,（9-19）,系统结构图如图所示,图9-3,例9-3,输入为 u ，输出为y 。,试求系统的状态方程和输出方程。,考虑用下列常微分方程描述的系统,解：,状态方程为,写成,取状态变量,输出,图9-4 例9-3系统的结构图,多输入-多输出系统,图9-6 多变量系统
5、,为状态变量；,为输入量；,为输出变量。,矩阵形式：,式中,.,输出变量方程,图9-7 系统结构图,三、线性定常系统状态方程的解,式中 均为列向量。,1、齐次状态方程的解,可得,方程两边系数必相等, 即,我们定义,（9-31）,（9-32）,因此，齐次状态方程的解为,将 t=0 代入（9-29）中得,（9-33）,（9-34）,（9-35）,为nn矩阵，称矩阵指数。,于是齐次状态方程的解为,用拉氏变换法求解,拉氏反变换后得到,（9-37）,（9-38）,最终得到,与前一种解法所得结果一致。,式中,状态转移矩阵具有以下性质：,图9-8 状态转移特性,性质3,例9-5,设系统的状态方程为,试求状态
6、转移矩阵。,解：,求状态转移矩阵为,其中,可以写出方程解为,例9-6,设系统状态方程为,试求状态方程的解。,解：,用拉氏变换求解。先求出矩阵指数,状态方程之解为,将上式进行拉氏反变换,图9-9 系统的瞬态解（a）与相轨迹（b）,改写为,用 左乘等式两边,2 非齐次状态方程的解,非齐次方程,（9-53）,（9-54）,积分上式得,讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法,拉氏反变换得,由于,由卷积定理有,因此,由于,最后得到,例9-7,求下述系统状态的时间响应,控制量u为单位阶跃函数。,解：,由,状态转移矩阵,若初始状态为零状态，则,四、传递函数矩阵,（9-58）,系统状态方程,拉氏变换为,解出,定义传
7、递函数矩阵为,所以,特征方程为,例9-8,设系统的动态方程为 试求该系统的传递函数矩阵。,解：,已知,故,例9-9,设系统的状态方程为,试求系统的特征方程和特征值。,解：,系统的特征方程为,特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。,五、动态方程的可逆线性变换,其中 P 是nn 矩阵,特征多项式,传递函数阵,例9-10,对例9-9之系统进行坐标变换，其变换关系为 试求变换后系统的特征方程和特征值。,解： 根据题意求变换矩阵,代入,特征方程为,特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果相同。,可得,9-2 线性系统的可控性和可观测性,在状态空间法中，对系统的
8、描述可由状态方程和输出方程来表示。 状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化,返回子目录,一、准备知识,设A 是 nn 矩阵, x 是 n1 向量,齐次方程组,若 |A|=0, （9-70）式存在非零解； 若|A|0, （9-70）式只有零解。,1、齐次方程组的非零解,2、Cayley-Hamilton定理,Cayley-Hamilton定理指出， 矩阵A满足自己的特征多项式。,则A满足,（9-71）,A的特征多项式,应用Cayley-Hamilton 定理,（9-78）,例9-11,解： 矩阵A的特征多项式,要求计算矩阵 的,矩阵A满足自
9、己的特征多项式，有,本题中n=100，故有,3 引理,的充分必要条件是：存在 使,（9-80）,非奇异。这里A :nn, b: n1.,若对任意状态 ，存在一个有限时刻 和控制量 ，能在 时刻将状态 转移到0，则称此系统的状态完全可控。,二、线性系统的可控性,1 定义,对于任意时刻 和 ，若存在控制向量 ，能将 的每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态 ,则称此系统的状态完全可控。,等价的定义,例如,图9-10,二维系统状态转移过程如图所示,系统可控。,2 可控性判据,其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11),系统可控的充分必要条件是,（9-84） （9-85）,（9-
10、86）,单变量线性定常系统,证明：,将u(t) 代入式(9-54)，可得,（9-87）,若式(9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在t10，使得(1-30)式定义的W(0, t1)矩阵非奇异，取t1为可控性定义中的tf ，且在0, tf 上定义,由定义可知式(9-86)成立时，系统可控。,再证明若系统可控，则式(9-86)成立,根据凯莱哈密尔顿定理,假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即 x(tf)=0 。根据(9-54)式，则有,把(9-89) 式代入(9-88) 式，得,记,这时,（9-90）,由于x(0)是任意的n维向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即,由上述可
11、控性判据可知，系统的可控性只取决于(9-84) 式中的A阵和b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为S，这样，可控的充要条件就写成：rankS=n 或 detS0。,图9-11 不可控系统,例子,系统可控,系统,3 约当型方程的可控性判据,约当块的一般形式为,由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。,可控的充分必要条件为,同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。 每一约当块最后一行，所对应的b中的元素不为零。 这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。,例9-12,系统状态方程为,试确定系统可控时， 应满足的条件。,解：,如果用直接计算可控性矩阵的方法 也可得到同样
12、结果 .,因为A阵有两个若当块，根据判据的(1)应有 ，由判据的(2)，A的第二行所对应的b中的元素b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为,4、可控标准形,（9-92）,则系统一定可控。,一个单输入系统，如果具有如下形式,(9-92)式的形式被称为单输入系统的 可控标准形 。,对于一般的单输入n维动态方程 (9-93) 其中A，b分别为nn,n1的矩阵。成立以下定理： 若n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。,下面给出变换矩阵P的构成方法,计算可控性矩阵S； 计算 ，并记 的最后一行为h。 构造矩阵 P 令,即可求出变换后的系统状态方程。,例9-13,设系统状态方
13、程为 试将系统状态方程化为可控标准形。,解：,先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。 故系统可控。 一定可将它化为可控标准形。,此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但符号相反。,则变换矩阵为,可求出,5 系统按可控性进行分解,系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有,下面的结果被称为 系统按可控性进行分解的定理,若单变量系统(9-84，85)式的可控性矩阵满足(9-103）式，则存在可逆线性变换矩阵P，使得变换后的系统方程具有以下形式,式中 是n1维向量, 是n2维向量，并且,（9-106）,（9-107）,(9-1
14、06)式表明下面的动态方程是可控的：,（9-107)式表明的动态方程式(9-108，109)和原来的n维动态方程式(9-84，85)具有相同的传递函数。或者说传递函数中未能反映系统中不可控的部分。,（9-108） （9-109）,证明：,（9-110）,考察(9-103)式，并将它重新写出如下,进而可以证明,补充选取线性无关的向量,并使得向量组 线性无关。,令,若将(9-104，105)式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来，(9-104，105)式的系统方块图如图9-12所示。,即可证明 具有定理所要求的(9-104)的形式。,图9-12 系统按可控性分解,从图9-
15、12中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变 ，故 这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。 由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。,例9-14,设有系统方程如下 其传递函数为 试进行可控性分解 。,解：,系统的可控性矩阵,由于S的第3列是第1列与第2列的线性组合，系统不可控 。,选取,计算出,构成,故有,因而得,三、线性系统的可观测性,设n维单变量线性定常系统的动态方程为,(9-113,114),如果在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每
16、一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。,式中A,b,c分别为 矩阵。,1、 可观测性的定义,若系统中至少有一个状态变量是不可观测(不能被确定)的，则称系统不可观。,图9-13 不可观测系统,分析(9-117)式，当知道某一时刻的输出时， (9-117)式是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能唯一确定初值，要解出x(0) ，必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将(9-117)式左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。,我们考虑没有外作用的系统，可求出,2 可观测性判据,可观测的充分必要条件是,(9-118)式中的矩阵称为可观性矩阵。并记为V。,式（9-118）又可以写成,根据准备知识中
