计量经济学金玉国第五章

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1、第五章 回归模型中的 变量问题,第一节 解释变量为随机变量 第二节 多重共线性问题 第三节 虚拟变量 第四节 滞后变量,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第2页,一、估计量的渐近性质 二、随机解释变量模型OLS估计特性 三、随机解释变量模型的经济计量方法 四、案例,第一节 随机解释变量,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第3页,要求满足古典假设4：随机项u与解释变量x之间不相关，即： Cov(xi, ui)=0 i=1,2, , n 只要解释变量x1, x2, xk是确定性变量，则上述假设自动满足。,对于模型,i=1,2,n,2019年2月14日

2、,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第4页,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第5页,一、估计量的渐近性质,线性、无偏性和有效性是评价一个估计量优劣的标准。在有的情况下，小样本的估计量不具有某种统计特性，但随着样本容量的增大，估计量逐渐有了这种统计性质，此时称之为估计量的渐近统计性质。 1 .渐近无偏性 2. 渐近一致性,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第6页,1. 渐近无偏性,记 为样本容量为n时参数的估计量，如果满足,则称 为的渐近无偏估计量。,有时，在小样本的情况下， 是有偏的，但随着样本容量的逐步增大， 与的系统偏差越来越小，逐渐趋于

3、0。通过增加样本容量，可以改善参数估计的精度。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第7页,2. 渐近一致性,对真实值在样本容量为n时的估计值 ，如果当样本容量n充分大时， 值趋近于真值的概率接近于1。 即：,则称 为的一致估计量。,可以证明： 为的一致估计量，当且仅当：,简记为：,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第8页,概率极限有以下运算法则：,c为一常数,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第9页,二、随机解释变量模型OLS估计特性,以一元线性回归模型为例 说明。设给定的模型为,采用离差形式即为:,式中：,不管自变量x是

4、否是随机变量，对上式应用OLS，参数的估计量都是,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第10页,我们分下列四种情况进行讨论,1. x 是非随机变量，x与u自然不相关,最小二乘估计量是无偏的。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第11页,2. x是随机变量，但x与u不相关，且相互独立,最小二乘估计量仍然是无偏的。,3. x是随机变量，x与u不相关，但也不独立,最小二乘估计量是有偏的。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第12页,但由于Cov(x,u)=0, 即,对式(4.70)两边取概率极限：,说明最小二乘估计量具有一致性。也

5、就是说，如果 x是随机变量，且x与u不相关但也不独立，虽然小样本的无偏性得不到满足，但在样本容量增加时，OLSE会逐渐逼近真实的总体参数，即在样本足够大时，OLSE仍然是有意义的。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第13页,4. x是随机变量，x与u相关，即使在大样本条件下，仍然存在,对式(4.68)，设 ，x与u之间的相关系数为，则式(4.75)变为：,由此可以看出， 是1的非一致估计量。这时OLS失效，必须引进其他方法估计参数和进行统计推论推论。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第14页,模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时，OLS

6、估计量是有偏的。 如果随机解释变量与随机误差项异期相关，则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量； 但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最常用的估计方法是工具变量法（Instrument variables）。,三、随机解释变量模型的经济计量方法,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第15页,1、工具变量的选取,工具变量法的基本思路：当解释变量与随机项相关时，则寻找另一个变量，该变量与随机解释变量高度相关，但与随机误差项不相关，则称该变量为工具变量，用其替代随机解释变量。,选择为工具变量的变量必须满足以下条件： （1）工具变量必须具有实际经济意义；

7、（2）与所替代的随机解释变量高度相关，但与随机误差项不相关； （3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性； （4）模型中多个工具变量之间不相关。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第16页,2、工具变量的应用,以一元回归模型的离差形式为例说明如下：,用OLS估计模型，,由 可得：,用 去乘模型 两边、对i从1到n求和得到：,由古典假定u和x不相关，即Cov(u,x)=0,因此有：,(4.77),利用该条件就可以略去(4.77)等式右边的第二项，将1用 代替也得到正规方程组。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第17页,如果u与x相关，

8、则 ，普通最小二乘法失效。,不能用 去乘模型 两边，需要另寻找一个变量z, z与x高度相关而与u不相关，z叫做工具变量。,用 去乘模型 两边、对i从1到n求和得到：,由于z和u不相关，即Cov(u, z)=0,因此有：,利用该条件就可以略去上述等式右边的第二项，将1用 代替也得到：,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第18页,从而得到工具变量法估计量：,然后由公式 ，得到0的估计值 。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第19页,i=1,2,n,如果xj(j=1,2,k)与随机项u不相关，用最小二乘原理可得到正规方程组：,对于多元线性回归模型，设

9、模型为：,解得 ：,=(XTX)-1XTY,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第20页,但当xj(j=1,2,k)与随机项u相关，即Cov(xj ，u)0或 ，普通最小二乘法失效，此时可采用工具变量法。,设xj ( j=1,2,k)的工具变量为zj，即每一个解释变量都对应一个工具变量，根据工具变量应满足的条件，可得：,将关系式：,i=1,2,n,代入上式得：,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第21页,当 j=1,2,k时，上式即可分解为k个方程式，与上述正规方程组的第一个方程一起就组成了由(k+1)个方程组成的方程组，利用样本数据求解便得到参数

10、的工具变量法的估计量。也可将此方程组转化为矩阵的形式求解。,可见，工具变量法实际上是一种矩方法。参数的工具变量估计量无论对一元还是多元的模型都具有有偏且一致的统计性。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第22页,四、案例,下页表中x代表国内生产总值，y代表消费，z代表投资。用表中所提供的某地的三项指标的资料说明工具变量的使用方法。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第23页,国内生产总值、消费、投资数据,单位:亿元,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第24页,设消费y与国内生产总值x之间具有线性关系，可建立如下模型：,由于

11、消费y和国内生产总值x与随机项u相关，而投资z与随机项u无关，与国内生产总值x高度相关，故可用z作为国内生产总值x的工具变量。参数估计如下：,= 0.568051,876.010088,则样本回归模型为：,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第25页,第二节 多重共线性,一、多重共线性的含义 二、产生多重共线性的原因 三、多重共线性引起的后果 四、多重共线性的检验 五、消除多重共线性的方法 六、案例,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第26页,一、多重共线性的含义,如果某两个或多个解释变量之间出现了某种相关关系,则称解释变量之间存在多重共线性(Mu

12、lticollinearity)。,对于模型 yi=0+1x1i+2x2i+kxki+ui i=1,2,n 其基本假设之一是解释变量是互相独立的，即要求Rank(X)=k+1。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第27页,如果存在不全为零的常数 1, 2, , k 使得： 1x1i+ 2x2i+ k xki =0 i=1,2,n 成立，则称为解释变量间存在完全共线性（perfect multicollinearity）。,对于多元线性回归模型：,解释变量的线性相关性分完全线性相关和不完全线性相关或接近线性相关两类。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研

13、室,第28页,在矩阵表示的线性回归模型: Y = X + u 中，完全共线性指： rank(X)k+1，即,中，至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）线性表示。,如：x2i= x1i，则x2对y的作用可由x1代替。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第29页,当存在不完全多重共线性时，存在存在一组不同时全为零的常数 1, 2, , k 使得下式 0 + 1x1i+ 2x2i+ k xki+ v = 0 i=1,2,n （5.20） 成立，其中v为随机误差项，则称解释变量间存在 近似共线性（approximate multicollinearity）或交互相关(in

14、tercorrelated)。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第30页,注意： 完全共线性的情况并不多见，一般出现的是在一定程度上的共线性，即近似共线性。,综上所述，多重共线性就是指解释变量之间存在完全的线性关系或接近的线性关系,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第31页,二、 多重共线性产生的原因,时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增长；衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动力投入往往出现高度相关情况，大企业二者都大，小企业都小。,一般地，产生多重共线性的主要原因有以下三个

15、方面：,1.经济变量相互关系复杂，有共同变化趋势,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第32页,2.利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性,（1）对于截面数据，许多变量变化与发展规模相关，会呈现出共同增长的趋势，例如资本、劳动力、科技、能源等投入与产出的规模相关，这时容易出现多重共线性。 （2）有时如果出现部分因素的变化与另一部分因素的变化相关程度较高时，也容易出现共线性。如用粮食产量对化肥用量、水浇地面积、农业投入资金进行回归，发现回归效果较差，原因是农业资金的影响已经通过化肥用量、水浇地面积两个因素体现出来。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第33页,3.滞后变量的引入,在经济计量模型中，往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济关系。 例如，消费= f (当期收入, 前期收入） 显然，两期收入间有较强的线性相关性。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第34页,4.样本资料的限制,一般经验： 时间序列数据样本：简单线性模型，往往存在多重共线性。 截面数据样本：问题不那么严重，但多重共线性仍然是存在的。,由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难收集，特定样本可能存在某种程度的多重共线性。,2019年2月14日,山东财经大学统计学院计量经济教研室,第35页,三、多重共线性的后果,（