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1、22.3实际问题与二次函数第1课时利用二次函数解决销售问题和动点问题 1.理解二次函数在解决实际问题中有重要的应用.2.会利用二次函数解决实际问题中的最值问题.【重点难点】会利用二次函数解决实际问题中的最值问题.【新课导入】在实际生活中,经常遇到最值问题,这些问题往往要转化为二次函数的最值问题.【课堂探究】一、利用函数求利润最值问题1.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?解:设商品定价为x元,利润为y元.当40x60,则可列函数关系式
2、为y=(x-40)300-10(x-60)=-10x2+1300x-36000.当40x60时,x=65元时,利润最大为6250元.定价为65元时,利润最大.2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?解:(1)y=-3x2+252x-4860;(2)当x=42时,最大利润为432元.二、利用二次函数求动点问题3.如图,正三角形A
3、BC的边长为3 cm,动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度,沿ABC的方向运动,到达点C时停止.设运动时间为x(秒),y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为(C)4.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动.(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形APQCD的面积为S cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.(2)t为何值时,S最小?最小值是多少?解:(1)第t秒钟时,AP=t,故PB=(6-
4、t) cm,BQ=2t cm.故SPBQ=(6-t)2t=-t2+6t.S矩形ABCD=612=72.S=72-SPBQ=t2-6t+72(0t6).(2)S=(t-3)2+63.故当t=3时,S有最小值63 cm2.1.最大利润问题(1)能利用二次函数顶点坐标确定利润的最大值.(2)能把最大利润问题转化为求函数的顶点坐标问题.2.动点问题(1)根据题意列出解析式.(2)注意顶点坐标与自变量的取值范围.1.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.每件衬衫降价
5、多少元时,商场平均每天盈利最多?(B)(A)10(B)15(C)20(D)252.从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:米)与小球运动时间t(单位:秒)的函数关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球运动中的最大高度h最大=4.9.3.如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒.4.当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h=-5t2+150t+10表示,经过15 s时,
6、火箭到达它的最高点,此时的最高点的高度是1135 m.5.某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌,广告设计费为每平方米800元,设矩形-边长为x(m),面积为S(m2).(1)求出S与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.解:(1)S=x(6-x)(0x6);(2)矩形一边长为3 m时,面积最大为9 m2,此时最大费用为7200元.第2课时用二次函数解决面积问题 1.利用二次函数的图象和性质求实际问题中的图形的最大面积或最小面积.2.体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型,并获得解决问题的经验.【
7、重点难点】来源:学优高考网gkstk从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系,并利用二次函数的图象和性质求实际问题中的图形的最大面积或最小面积.【新课导入】给你长8 m的铝合金条,请问:(1)你能用它制成一矩形窗框吗?(2)怎样设计,窗框的透光面积最大?【课堂探究】一、用二次函数解决矩形面积问题1.用长为8 m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,问窗框的宽和高各是多少米时,窗户的透光面积最大?最大面积是多少?解:设矩形窗框的一边AB长为x m,则另一边长AD的长为 m,再设面积为y m2,则它们的函数关系式为y=x=-x2+x=-(x-2)2+,0x4,当x=2时(属于0x0),面积为y,则
8、y与x的函数关系式是(D)(A)y=x2(B)y=x2(C)y=x2(D)y=x23.如图,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x(秒),PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)求PBQ的面积的最大值.解:(1)SPBQ=PBBQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,y=x(18-2x),即y=-x2+9x(0x4).(2)由(1)知:y=-x2+9x,y=-x-2+.当0x时,y随x
9、的增大而增大,而0x4,当x=4时,y最大值=20,即PBQ的最大面积是20 cm2.1.用二次函数解决面积最大问题(1)设其中一边为自变量(2)另一边用含自变量的代数式表示出来(3)用面积公式建立二次函数模型(4)利用二次函数有关性质求得最值2.求面积常用公式矩形面积=边长边长三角形面积=底高扇形面积=弧长半径1.设一扇形周长为4 cm,若要使其面积最大,则半径应为(A)(A)1 cm(B)2 cm(C) cm(D) cm2.如图,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0x10
10、,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是(D)3.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.4.如图,在ABC中,B=90,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过3 s,四边形APQC的面积最小.5.如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,
11、面积为S平方米.来源:学优高考网(1)求S与x的函数关系式;(2)如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的长是多少米?(3)能围成面积比45平方米更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.解:(1)S=(24-3x)x=-3x2+24x.(2)由45=-3x2+24x,解得x=5,x=3(舍),即AB长为5米.(3)S=-3(x-4)2+48,由x8.所以当x=时,S有最大值.48-3-42=46.所以能围成.来源:gkstk.Com围法:24-3=10,花圃的长为10米,宽为4米,这时面积最大为46平方米.第3课时利用二次函数解抛物线型实际问题 1.会建立直角坐
12、标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题及抛物线型实际问题;3.获得利用数学方法解决实际问题的经验,体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便.【重点难点】1.会建立直角坐标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题及抛物线型实际问题.【新课导入】如图(1)是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图2).求两盏景观灯之间的水平距离.如何解决这个问题?【课堂探究】一、用二次函数解决建筑
13、问题1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的,为了牢固起见,每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为(C)(A)50 m(B)100 m(C)160 m(D)200 m2.如图,宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥,桥面(视为水平的)与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度(即两主塔之间的距离)是900米,这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索(视为抛物线)最低点离桥面(视为直线)的高度为0.5米,桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥
14、两端主塔100米处垂直钢拉索的长(结果精确到0.1米).解:如图,以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点为坐标原点,以桥面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0.5),B(-450,94.5),C(450,94.5).由题意,设抛物线为y=ax2+0.5.将C(450,94.5)代入求得a=.所以y=x2+0.5.当x=350时,y57.4.所以,离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长度约为57.4米.二、用二次函数解决抛物线型实际问题3.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒来源:学优高考网gkstk4.一男生在校运会的比赛中推铅球,铅球的行进高度y(m)
