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1、1数值分析方法在求主轴梯度的应用研究1 引言迄今为止，材料科学基本上还是一门试验科学。材料工作者的目的主要是希望能用易于获得的原料，以简便的工艺及不太苛刻的工艺条件，制备出材料性能符合预定要求，价格又比较低廉，至少是不过分昂贵的材料及其制品来。这中间，材料的三大组成，即化学、矿物和颗粒组成及相应的制备工艺条件是其决定性的因素，往往需要通过试验去寻找。而这是一项极为费时、费力，且耗费财力的工作，对于无机非金属材料，更为甚之。这就需要我们对其精心组织，以求“事半而功倍” ，提高效率，减少投入，以更好地完成任务。人们为此对其技术路线进行了长期的、大量的研究。随着近代数理统计理论及方法研究的进展和计算
2、机技术的迅速发展与普及，在 20 世纪 50年代以后逐渐形成了“回归试验设计”及建模寻优的“系统论”方法 1。进一步地，可以将这样的工作过程归纳为以下的“三部曲”：（1）试验设计与其实施；（2）建立材料性能与其组成、工艺条件之间关系的数学模型；（3）利用这一模型，采用最优化或多目标决策分析等技术来寻找最佳组成及工艺条件 2。大量的建模实践证实：在材料科学与工程领域中，绝大多数情况下，用完全多项式形式的标准二次回归方程来描述材料性能与其组成、工艺条件之间的定量数学关系已经足够准确。由于坯釉料的三大组成均有混料约束条件限制，即存在“定和问题” 。对于以此类成分数据作为自变量的性能数学模型的试验设计
3、及建模，有其特殊性。若按常规方法建立的数模，则会因混料约束条件而出现自变量之间虚假的负相关现象，致使对于自变量影响的工艺解释产生失真，甚至发生有悖于工艺学一般原理的重大谬误。解决混料试验设计中存在问题的途径，最常用的有两种：（1）比率设计；（2）模型形式改为不完全多项式，并采用单纯格子设计。近来，有人又提出了“元配料” (MetaBatch，MB) 的概念 3。元配料是由原料到坯釉料之间的一种中间配合料。元配料与配合料一样，是由若干种原料混合而成。以原料作为计算基础的元配料在陶瓷工艺学和生产中可以有多种用途，主要可望用于配方计算、建模与寻优、制备配合料和生产商品化坯料等方面。在材料科学与工程领
4、域中，一般所说的“数学模型” ，多是指用来描述材料性能与原料或元配料的配料比、三大组成、工艺性能等之间关系的数学表达式。 “建模” ，即是建立这一数学模型，其目的是便于预报性能值、分析性能的变化趋势及影响因素，并找出最佳组成及其相应的工艺条件。这些，正是材料工作者的主要工作和目标。只不过“建模与寻优”的技术路线和工作方法可能更科学、更系统化与程式化而已。一旦建立了数学模型，接下去就很容易在试验因子空间之内以及附近，对性能值进行预报，并对性能之变化趋势进行分析和估计，进而还可找出该性能符合预定要求的最佳点及其相应的组成和工艺条件。材料工作者除了对于个别待预报点上的性能感兴趣之外，往往更关心性能在
5、试验因子空间及其附近的变化趋势及速率。从数学上讲，就是要运用多元微分原理，去研究性能对其影响因素的“响应曲面”之性状。但是，这些工作都必须要先建立数学模型后才能开展，而建模却是一件相当困难的事情。有没有可能直接从一些试验数据去分析性能的变化趋势及速率呢？有的! 我们可以采用数值分析方法试着来做一次尝试。2 主轴梯度对于受混料约束条件限制的情况，有人建议采用“主轴梯度”来估计待预报性能的变化趋势和速率 4。这是因为若在没有混料约束限制时，诸因子在直角坐标系下，当因子沿坐标轴方向变化时，多变量问题可以被看成是单变量问题。因而可以令别的因子均固定不变，只让此一因子变动。2这样，即可用偏导数来度量曲面
6、上单一因子沿其坐标方向上的变化速率。但在混料系统中，由于混料约束条件的存在，不可能仅让其中一个因子变化，而使其它因子全都不变。所以，一般不能使用通常的偏导数来研究待预报性能曲面的性状。为此，我们规定了因子 xi 的“主轴” 。它是一个有向矢量轴，其正向指向因子空间中的因子 xi 的组成点，并满足式（1） ，即在 xi 的主轴上，对于其它的（p - 1）个因子 xj，有xj = ( 1 - xi ) / (p 1) (j i) (1)也就是说，在 xi 的主轴上，其它诸因子是均等地同步消长着，它们对于待预报性能的影响大致可以互相抵消，从而唯一保留并突出了因子 xi 的单独的影响。在主轴方向上，性
7、能的变化速率被称作“主轴梯度” 。用主轴梯度就可以象通常的偏导数那样去估计与判断性能的变化趋势与速率。图 1 给出了陶瓷坯体的一种重要的工艺性能干燥强度与 3 种元配料之间关系的等值线图。这张图是根据数学模型计算后绘制的。对应图 1 上的 3 种元配料，就有 3 条主轴。每条主轴都是始于某个表示元配料的顶点对面的底边的中点，而指向该顶点的有向线段。3 种元配料组成三角形及其表示方法与三元相图有很多相似之处。在其上绘出待预报性能的等值线，很便于观察和审视性能在此因子平面中的变化情况，并便于进一步寻优，因此受到工艺工程师们的普遍欢迎。但是，要绘制这样的一张等值线图却非易事。为此，我们试图直接从一些
8、试验数据来估计主轴梯度以供分析变化趋势与速率，并判断诸因子对性能之影响力的相对大小。3 试验、计算及结果我们可以在每条主轴上布置一些试验点，试验点分别布置在每条主轴的 0，0.2，0.4，0.6，0.8和 1.0 的标度上。然后“按图索骥”决定元配料的配料比，进行坯料配制、制作试样，并测试性能。表 1 示出了沿 3 条主轴的 36 = 18 个试验点及其坯体干燥强度的性能测试值。如果试验测试有较大的随机误差，那么可以先用数据平滑或磨光的方法进行预处理。这里假定试验精度较高，所以没有对试验数据做预处理，直接采用三次自然样条函数(Spline function)进行插值，并求取微商。三次自然样条函
9、数 S(x)是一种三次多项式。对于给定的 n 个插值结点 x1x2xn 及其对应的函数值 y1y2yn，三次自然样条函数 S(x)可用于求一组插值点上的函数值、一阶导数值及二阶导数值。它满足下列条件：(1)插值条件：S(xi) = yi (i = 1, 2, ,n) (2)(2)连接条件：在分点 xi 处具有连续的一阶和二阶导数值，即S(xi - 0) = S(xi + 0)S(xi - 0) = S(xi + 0)(i = 2, 3, , n-1) (3)(3)自然边界条件：S(x1) = S(xn) = 0 (4)于是，可用牛顿插值公式求出插值点上的 S(x)，并进一步求出 S(x) 和
10、S(x)。具体的公式及计算机程序可参见有关文献 5，此处不再赘述。表 1 同时列出了沿各主轴上，间隔为 0.1 标度的插值结果。4 分析与讨论4.1 对沿主轴方向上材料性能的变化趋势和速率的估计由表 1，结合图 1，可以看出：3表 1 沿 3 个主轴的性能(坯体干燥强度)测试值 Y 和插值结果：函数值 S、主轴梯度 S 和二阶方向导数 S_X1 Y & S S S_.000000 2.369300.100000 2.185177 -1.715742 3.764596.200000 2.038700 -1.151053 7.529191.300000 1.959669 -.445284 6.58
11、6185.400000 1.946500 .166184 5.643178.500000 1.991334 .730501 5.643159.600000 2.092600 1.294816 5.643141.700000 2.251869 1.906282 6.586183.800000 2.477000 2.612053 7.529222.900000 2.769577 3.176745 3.7646091.000000 3.099799_X2 Y & S S S_.000000 1.691400.100000 1.768316 .771053 .056838.200000 1.84580
12、0 .779578 .113677.300000 1.924303 .790236 .099476.400000 2.003800 .799474 .085275.500000 2.084174 .808001 .085266.600000 2.165400 .816527 .085257.700000 2.247503 .825763 .099469.800000 2.330600 .836421 .113681.900000 2.414716 .844947 .0568411.000000 2.499400_X3 Y & S S S_.000000 2.378400.100000 2.205742 -1.631526 2.851547.200000 2.061600 -1.203794 5.703094.300000 1.968548 -.669121 4.9903724.400000 1.925400 -.205720 4.277651.500000 1.926215 .222011 4.276970.600000 1.969800 .649674
