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1、温州市龙湾中学数学组优秀案例集“09 数赛”引发探究性学习的一个案例温州市龙湾中学 鲁兴冠（注：本案例获 2010 年温州市高中数学优秀案例评比二等奖）内容提要：通过对 2009 年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对椭圆中 的简单研究，类比到双曲线、抛物线。并结合 2009 年全国及各省OAB市高考试题及举例说明这类问题的一些常规应用，通过激烈的讨论，思维的撞击，建立更好的知识结构。关健词 数赛 探究 案例1 问题提出与背景：10 月 11 日上午在市第二十一中学进行的 2009 年全国高中数学联合竞赛刚刚结束，同学们都议论纷纷，一位学生神秘兮兮告诉我一个好消息：有一个 7分填空题我上
2、课时己讲了。当时我也很迫切想知道是怎样一道题？又是何时讲？由于学生心情很激动或许考试太紧张吧，该学生一时说不出具体试题，只回答我：反正您讲了。然后，我说：返校后好好回忆再用纸条写给老师。下午上课前，一群己参 09 数赛学生把题目写好了送给我：椭圆 （ ）21xyab0a上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最小值为 PQOOPQ（2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题第 5 题）2 原问题寻找及问题解决：看了试题后，说实话作为高中教师解答该题并不难，难的是学生硬说老师上课讲了，并且讲的时间还不长，可我自己记不起何时讲解过。我翻遍了自己的备课本也没有找到该试题，又快上课了，我只好要求找到该试题的同
3、学第一时间告诉我。下午刚一放学，一位同学拿着课本选修 4 一 4 一路跑来说：“找到了” 。原来我备课简单，对课本上这些题目没有具体写出来而这样略写：讲解“P15 页习题 1.3 第 6 题” ，这正是翻遍备课本也没有找到的原因。这样我第二天数学课进行“补牢”工作。己知椭圆中心为 O,长轴、短轴的长分别为 2a , 2b（ab0）,A,B 分别为椭圆上的两点， ，求证：（1） 为定值 （2）求 面积OAB21OABOAB的最大值和最小值 （人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修 4 一4坐标系与参数方程第 15 页习题 1.3 第 6 题）生 1：证明：由题意椭圆方程为 ，因为 ，21x
4、yabAB设 OA 所在的直线斜率为 ，则 OB 所在的直线斜率为k1kB AYXo由 得 所以21ykxab222abky22(1)abkOA同理可得 ，22(1)akOBb所以 22222 21 1()abkaA师：生 1 的结果是否正确？生 2：肯定正确。师：敢肯定？！理由？生 2：特值法，当 ， 时显然对了。OaBb师：太聪明了！生 3：生 1 的结果是正确，但过程不完整，OA 所在的直线斜率可能不存在，这种情况没有讨论。生 4：（很迫切）那 OA 所在的直线斜率为 0 也没有讨论。师：同学们考虑问题要周到全面呀！那怎样说简洁明了？生 1：（我自己知道了必须补上）当 OA 或 OB 所
5、在的直线的斜率有一个为 0 时，（定值）2221abOAB生 5：（参加了数学竞赛并提出该问题的同学）老师：我正是用这个定值做的。生 5 展示解法：由课本知 又根据基本不等式22211abOPQ 221OPQ2PO 21abO （当且仅 时取等号）2aP2abPQ师：不错，不错！对课本比老师还熟悉。3 问题的应用：师：暑假我把全国各省市高考题全部做了，我在你们、特别是生 5 的提示下，请大家共同欣赏 2009 山东卷理 22 题BAYXo设椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使
6、得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。生 6：解:（1）因为椭圆 E: 21xyab（a,b0）过 M（2， ） ，N( 6,1)两点,所以2416ab解得2814所以284椭圆 E 的方程为2184xy（2）由课本知： ，又设 AB 边上的高为 h,2238abOAB由 可得1ABSh222213hOB显然以原点为圆心，h 为半径的圆就符合题意。所以, 存在圆心在原点的圆 283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAB.由 得 ( ) 22138OAB228OA24
7、82238 其中设 且28164()3ttABt238tOA4,16t函数 在 上是减函数 上是增函数164(),3fxtt,8, ,min28max(4)162ff 46|233AB综上, |AB |的取值范围为: 4|6,23师：:（1）生 6 真是现买现卖，牛！比高考答案还方法还要好。用上了这个定值，还构造了典型函数 ，并利用其单调性来求范围。()(0)afx（2）本题是 2009 山东卷压轴题，其题源背景就是课本上作业题，因的高 h 也为定值，课本上第二问求 面积的最大值和最小值就与RtOABOAB这道高考题第二问实质上是一样了。(3)本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方
8、程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法。师：若过 O 作 于 M，则 M 的轨迹是什么？AB生 7：是以原点为圆心以 h 为半径的圆（原点除外） 。师：真严密！“原点除外”没有移漏。4 提出并探究新问题：师：看来 09 全国数学竞赛考了，09 高考也考了，同学们能否探究它的逆命题是否成立？问题 1 己知椭圆中心为 O,长轴、短轴的长分别为 2a , 2b（ab0）,A,B 分别为椭圆上的两点 ， ， 试研究 是否成立？221abOABOAB生 8：证明：由题意椭圆方程为 ，因为21xy22211ab（1）当 OA 或 OB 所在的直线的斜率为有一个为 0 时，
9、不妨设 OA 所在的直线的斜率为 0，则 由（1）得 从而有AaBbOAB（2）设 OA 所在的直线斜率为 ，OB 所在的直线斜率为10k20k由 得 所以12ykxab2122baky212()abkA同理可得 ，所以22()OBakb化简得2212221()(1)kabA12k师：大胆探究，小心化简。 （边巡视边提示）由此可见， 不一定成立。当 OA 或 OB 所在的直线的斜率为有一个为OB0 时，或当 OA,OB 所在的直线的斜率异号时， 成立。OABB AYXo师：我们今天仅对椭圆行进了研究，我们把这一问题想开去。这个问题在双曲线中、抛物线中又怎样？课后分组讨论、交流。以下的问题有老师
10、提出的，有同学提出的步，最后搜集整理如下：问题 2：己知双曲线中心为 O,实轴、虚轴的长分别为 2a , 2b（ba0） , A , B 分别为双曲线上的两点 ， ， 求证： 为定值OAB221OAB小组 1：证明：（1）因为 ba0， ，所以 OA、OB 所在的直线的斜率一定存在且不为 0 （2）只需把探究 1 中的结论 换成 就可得2b2（定值）22baOAB问题 3： 己知双曲线中心为 O,实轴、虚轴的长分别为 2a , 2b（ba0） , A , B 分别为双曲线上的两点 ， ， 试研究： 是否221baOABOAB成立？小组 1： 证明：仿照椭圆知： 不一定成立，也即命题 2 的逆命
11、题不成立。当且仅当 OA,OB 所在的直线的斜率异号时， 才成立。小组 1 例举：已知双曲线2:1(0,)xyCab的离心率为 3，右准线方程为 3x （）求双曲线 的方程；（）设直线 l是圆 2:Oy上动点 00(,)Pxy处的切线， l与双曲线 C交于不同的两点 ,AB，证明 O的大小为定值.wu.c.o（2009 北京高考卷理 19）小组 1 解:（）由题意，得23ac，解得 1,3ac， 22bca，所求双曲线 C的方程为2yx.（）由直线 l是圆 2:Oxy上动点 00(,)P处的切线，CBAYXoCBAYXol与双曲线 C交于不同的两点 ,AB可知： 的边 AB 上的高为定值 ,
12、O2hOA,OB 所在的直线的斜率异号 又由命题 2 知： ，22 211bahOAB 的大小为 90.wu.c.o.m 问题 4 己知抛物线 E： （p 0）, A , B 分别为抛物线上的两点 ，2yx，求证：直线 AB 恒过定点AB小组 2 证明：由题意可设 OA 所在的直线的斜率 ，0k则 OB 所在的直线斜率为 1k由 得2ykxp2(,)p同理可得 ，所以直线 的斜率为,BkAB21ABk直线 的方程为A22()1ypxpk又在上述方程令 ,得 直线 AB 恒过定点 C0x (,0)p问题 5：己知抛物线 E： （p 0）, 过点 C 作直线2yx2AB 交抛物线于 A , B 两
13、点 ， 求证： OAB小组 2 证明：证明：由题意可设 OA 所在的直线的斜率 ，OB 所在的10k直线斜率为 0k由 得 同理可得 ，12yxp21(,)pA2(,)pBkMCBAYXo（1）若 即 轴时， , ，120kABx(2)p(2)Bp显然 成立O（2） 时，则直线 的斜率为1212ABk直线 的方程为 ,AB2121()kypxp直线 过 C (2,0)将 ， 代入上述方程得 xpy12kOAB综合上述： OAB小组 2 例举：己知抛物线 （p0）, A , B 分别为抛物线上的两点 ，2ypx，过 O 作 于 M，求：M 点的轨迹方程（2004 上海春高考卷理 22）小组 2
14、解：由命题 3 可知：直线 AB 恒过定点 C (2,0)p 于 MABM 点的轨迹是以线段 OC 为直径的圆且原点 O 除外所求 M 点的轨迹方程为： 22()(0)xpyx5 教后启示（1）本节课在参加 09 数赛同学的提示下，通过对 2009 年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对圆锥曲线中 的简单研究，并结合 2009AB年全国及各省市高考及举例说明这类问题的一些常规应用来复习了圆锥曲线，起到了意想不到的效果（2）在研究性学习中，师生之间是轻松和谐氛围中进行。教师要不断吸取新的知识，投入新课程教学研究中，才能适应时代的发展。教师要乐意，虚心地接受学生的见解、观点。实现“沟通、理解
15、、创新 ”，培养学生的学习兴趣与创新精神。荷兰著名的教育专家 费赖登塔尔指出：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的” 。因此作为数学教育工作者应加强对案例教学法的研究、应用，使案例教学法在中学教学课堂上展现无穷魅力。 （3）圆锥曲线往往是高考压轴题，看来其题源来于课本，变于课本，高于课本。这让我们一线的数学教师反思：怎么教？学生怎么学?基础怎么去落实？解决问题的通性通法是什么？在教学中多问“为什么？还有么？”等等。学思结合，举一反三，基础知识的掌握和落实尤为重要，课本中的定义、定理、例题、习题要吃透、消化，高三复习要回归课本。我认为这正是高考命题专家的用心良苦，也说明专家们驾驭课本的能力，知识的渊博。通过对圆锥曲线中 的简单探究，反映了几种圆锥曲线之间的内在关系，又一次体OAB现了数学美。参考文献1 2009 年高考数学试卷山东卷2 2009
