七桥问题及其证明

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1、七桥问题及其证明七桥问题对很多人来说并不是陌生的名词，尤其当它已经被写进了小学数学课本不过，此处还是再来啰嗦地介绍一下七桥问题到底是怎样的一个命题。 传说在 18 世纪普鲁士的哥尼斯堡城，有一条叫做普雷格尔的河，河中间有两个岛，有七座桥把这两个岛与河岸相连，就像下面这个示意图里左图给出的一样。市民们饭后茶余就在讨论，能不能不重复的经过每一座桥而回到出发点呢。这个问题也可以被简化成右图是否能够被一笔画的问题。大数学家欧拉思考过后认为，市民们一直在找寻的那条路径是不存在的，把每座桥看成图的一个边（右图） ，想要不重复的经过每一条边而回到原点，则每个顶点必须有偶数条边与之相连，才能满足从一条边来从另

2、一条边出。用图论的语言来说，一个非空连通图是Euler 图当且仅当它没有奇度顶点。这里 Euler 图指的是有 Euler 闭迹的图，而 Euler 闭迹是，经过图G 的每条边恰好一次的闭迹。有了这样的定义，上面的“ 七桥问题一笔画是不可能的”论证过程可以这样表述：设图 G 是 Euler 图，C 是G 中一个 Euler 闭迹。对 G 中任一个顶点 v，v 必在 C 上出现。因C 每经过 v 一次，就有两条与 V 关联的边被使用。设 C 经过 v 共 k次，则 C 经过了 2k 条与 v 关联的边，故 v 的度为 2k（节点 v 的度指图 G 中与 v 相连的边的数量）细心而学究的人会发现，

3、上面仅仅是对命题的必要性证明，那么，充分性的证明呢？当一个非空连通图 G 的每个顶点都是偶度顶点，那图 G 就有 Euler 闭迹吗？直接证明这个比较困难，可以用反证法来证明：无妨设图的顶点个数 n 1。因 G 连通，故至少有一条边。假设图 G 无奇度顶点，但它不是 Euler 图。令 S = G | G 是至少有一条边的 n 阶连通图，无奇度顶点，且不是 Euler 图，则 S 非空。取 S 中边数最少的一个，记为 G0。因 G0 无奇度顶点，故 G0 中顶点的度至少为 2，因此 G0 含有圈，从而含有闭迹。设 C 是中一条最长的闭迹。由假设，C 不是 G0 的 Euler 闭迹。因此 G0 中将 C 的边去掉后必有一个连通分支至少含有一条边。记这个连通分支为 G1。由于 C是闭迹，故 G1 中没有奇度顶点，且 G1 的边少于 G0 的边。由 G0的选择可知，G1 必有 Euler 闭迹，记为 C1。因此 CC1 是的一条闭迹，且它比 C 更长，这与 C 的选取矛盾。证毕。是不是看的稀里糊涂呢？其实仔细想想不难理解，考虑所有节点度之和为偶数，则除去一个 Euler 闭迹后，剩下的节点度之和还是偶数，说明还有闭迹最后可知整个图便只有整个一个最大的闭迹就是 Euler 闭迹了