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1、1第四章 随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格列维中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A 组1、离散型随机变量 的概率分布为X-2 0 2p0.40 0.30 0.30求 、 、 ？()EX35)2()E解： ；0
2、.4.30.2；()().2222.18EX2、某产品表面瑕疵点数服从参数 的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为0一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？解：设 为产品价格，则 、 、 .通过查泊松分布表可知其相应概率分布为X0X810 8 10p0.0014 0.8088 0.1898则 (元).()80.19.89.61E3、设随机变量 的分布函数为 .求 ？X0()/4xFx()EX2解：由分布函数知 的密度函数为X1/40()xfx其则 .40()2Efd4、设随机变量 服从几何分布，即 ，其中X1()()kpXkp(,2)是
3、常数.求 ？01p()解： 111()()kkkkEpp由级数 ，知2123()xx (|).21()EXpp5、若随机变量 服从参数为 的泊松分布，即()!kpe(0,12)求 、 ？EX2解： ；100()!()!kkee1220 0(1)() !()!kk kk kEX.1 20()!kkee 6、某工程队完成某项工程的时间 (单位:月)服从下述分布XX10 11 12 13p0.4 0.3 0.2 0.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利 (万元).求平均利润？5013)YX解：(1) (月)；().4.0.13.EX3(2) (万元 ).()50(13)
4、650()10EYXEX7、若随机变量 服从区间 上的均匀分布，即,ab()xfxba其0求 、 ？()EX2)解： ；(2baxbxfd .222()3baaf8、若随机变量 服从参数为 的指数分布，即X0()xef其求 、 ？E2解： 00()()xxXxfdede；01xee.2222 200()()xxxEfxeeed 9、离散型随机变量 的概率分布为X0 2 6p3/12 4/12 5/12求 、 ？()EXln(2)解： ；345190612.4513l()l()ln()ln(62)ln210、设 ，求 ？2,XN|EX解：2()1(|)|xEed令 ，由偶函数性质有xt4.20(
5、|)()tEXed11、设某商品需求量 ，销售商进货量 在(10，30)之间，是一个整数.1,3U:n每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润 与 、 的关系为YXn503()103nY则利润平均值为 10 10()5()53()2n nEXdxXndx7.3由题意知 2.5059280n解得 ，则最少进货量为21.6312、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件 发生，则赔偿顾客 元.以往资料Aa表明事件 发生的概率为 .为使公司收益期望值
6、为 ，则应向顾客收取都少保费?Ap0.1a解：设应向顾客收取 元保费，公司的收益为 元.则xYYxp1p按题意 ()1)(0.EYxa解得 .0ap13、设随机变量 的密度函数为 .对 进行独立重复观X1cos0()2xf 其X测4次， 表示观测值大于 的次数，求 的数学期望？Y/32Y解：显然 ，其中 是 的概率，故(4,)bp(/3)X531()cos0.52xpXd所以44()0.5kkYC(,1234)则有.42240().5kkkE14、设随机变量 、 相互独立，且都服从标准正态分布.求 的数学XY 2ZXY期望？解：由题意知 、 的联合密度函数为21(,)xyfxye于是 22 2
7、1()(,)2xyEZxyfdxyed 令 、 得cosxrsinr.222001()r rZeded15、已知 的分布如下，令 ，求 ？,)XYmax,ZXY()EZ0 5 10 150 0.02 0.06 0.02 0.105 0.04 0.15 0.20 0.1010 0.01 0.15 0.14 0.01解：由题设可得 的分布为Z0 5 10 15p0.02 0.25 0.52 0.21.()0.25.1.20.196E16、设 的联合密度函数为,XY21(,)0yxfx其6求 、 、 、 ？()EXY()EX2()Y解： ；1204, 5xxfydyd；3()()；101,2xEXY
8、xyf y.22 22016()()(,()5xfdyd17、设随机变量 的密度函数为,1()02,(,)8xyxyfy其求 ？()EX解： .207(,)()88xxfydyd18、甲乙二人相约在 之间会面，设 、 分别表示甲乙到达时间，且12:3:XY相互独立.已知 、 的密度函数为XY、230()xf其 201()yf其求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为 ，由于 、 的联合密度函数为|XYY2601,(,)xyyf其120|6EXYxd.112 200 1()6()|4x yydyx19、设二维随机变量 在曲线 、 所围区域 内服从均匀分布，(,)G求数学期望 、
9、？()EXY解：设 的联合密度函数为 ，由密度函数性质解出, (,)(,)0cxyfxy.下面分别求出边沿密度函数9/2c7当 时，有 ，故此12x2 2()()9xXfdyx2(1)90Xf其当 时，有01y4()9yYfdxy当 时，有 ，所以42()y0192()()40Yfyyy其从而 ；2211()()()9XExfdxdx.40 85Yyyyy20、离散型随机变量 的概率分布为-2 0 2p0.40 0.30 0.30求 ？()DX解：由题意易知 、 ，所以()0.2E2()1.8X.2().47621、设随机变量 的分布函数为 .求 ？X0()/41xFx()DX解：由题意易知
10、的密度函数为 ，且 ，则/()0xf其()2E.24204()()(3xDXxEfdd 22、若随机变量 服从参数为 的泊松分布，求 ？()DX解：由题意易知 、 ，故()2()X8.22()(DXEX23、设随机变量 的密度函数为,Y1()02,(,)8xyxyfy其求 ？()DX解：由题意易知 ，故7()8EX.22 20171()(,)()8636xfxydxydx 24、设二维随机变量 在曲线 、 所围区域 内服从均匀分布，(,YG求方差 、 ？()DX解：由题意易知、2()1)90Xxxfx其 40192()()40Yyyfy其、1()2E8()5Y2217()910Xxfdxdx4
11、2201 47()()()1Yyyyyd；2DE.279()()35025、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设 表示取出合格品前已取出次品的数目，则X0 1 2p8/10 16/90 2/90故9、2()9EX24()15所以.228()(40DEX26、设随机变量 的密度函数为 .求 、 ？|1()2xfe()EXD解： ；|()()xxfdd.222| 201()xxDXEfeded27、设 为随机变量，证明:对任意常数 ，有 ，当C()DXEC时等号成立.()C证明： 22222)()()()
12、EXCX2()ECDXEC由于 非负，从而有 ，且当 时2) 2()D().()DXEC28、设 服从(-2，2)上的均匀分布，定义 、 如下UXY、11UY求 ？()DXY解：先求 的分布(2)(1,)(1,)(1)/4ppXYpUpXY(0)(2)(2)/X所以 ，从而E.2()()DXY29、已知 、 .请估计概率 ？7502(15DX(708)pX解：由切比雪夫不等式有10.215(708)(|750|)09pXp30、设 、 、 、 、 ，利用由切比2E1D(EY()4D0.5XY雪夫不等式估计概率 的上限？(|6)p解：因为 、 ，所以)0XY()2(,)3XCov.(1(|6|)
13、|6XYpEY31、设 、 、 ，求 ？)4D(90.5X)D解： (,)3YCovXY.23)(2(,)16831Cov32、设 的联合密度函数为(,2101,)yxfx其求 ？(,CovXY解：由题意易知 、 、 ，故4()5E3()Y1()2EX.14(,)250vX33、设二维随机变量 在曲线 、 所围区域 内服从均匀分布，(,)yxG求协方差 与相关系数 ？(,)CovYXY解：由题意易知、 、 、1()2EX8()59()20D279()3502194xGYxydyd所以；9(,)()()20CovXEXY.,751()YD1134、设二维随机变量 的联合分布为(,)XY-1 0
14、10 0.07 0.18 0.1510 0.08 0.32 0.20求 ？2(,)CovXY解：先求 、 、 的分布22XY、2(0).4p(1)0.6p、5Y25、2().7X().28XY所以 、 、 ，由此得06E2)0.(0.E.2 2(,)()CovY35、随机变量 的密度函数为,X201(,)xyfxy其求 ？DY解：当 时，有 ；当 时，有01x1()2Xxfdy01y，故 、1()2Yyfd 3EY()8DXY由于 ，即 与 不独立.所以,)()XYfxfy105(12xE41,)()()936CovE.( ov(,8DXYDYCX36、将1枚硬币抛 次，以 、 分别表示正面向上与反面向上的次数，求n、 ？(,)CovXY解：由于 ，即 ，于是 ；X1XY12又因
