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1、29第四章 振动和波动本章教学要求：1.重点掌握简谐振动方程、波动方程及其物理意义2.确切理解简谐振动的合成、波的干涉现象及其规律3.了解驻波的形式及其规律习题4-1.直径 d=1.2cm 的 U 形管装有质量 m=624g 水银。使水银在管中作微小振动，如题4-1 图所示。试求其振动周期（水银密度 =13.6103kg/m3，水银与 U 形管的摩擦忽略不计） 。分析 先证明管中水银在作简谐振动，然后求振动周期。解：取坐标如图。当右侧水银柱上升距平衡位置 O 为 x 时，两侧水银高度差为 2x，则右侧水银柱向下作用力的大小为 2()dFgx222()madtdxgxt令 则22m22xdt 管
2、中水银在作简谐振动 220.9Tsdg另解： 令2()dFgx()k则 管中水银在作简谐振动。kx20.9mTskdg4-2.一质量为 10g 的物体作简谐振动，其振幅为 24cm，周期为 4s，当 t=0 时，位移为 24cm。求 t=0.5s 时物体的位移、动能和其所受到的力的大小及方向。分析：先求振动方程。已知 A 和 T 只需求 解：设振动方程为 cos()xt30124sradTt=0 时 0cosxA0xA 振动方程为 cmcstt=0.5s 时 cm24cs(.5)2412xcm/sin0sin6vAJ22 4163.50kEmN 指向 x 轴负方向。22 301.814Fx4-
3、3.如题 4-3 图，有两个完全相同的弹簧振子 a 和 b，并排地放在光滑水平台面上，测得它们的周期都是 2s。现将两物体从平衡位置向左拉开 5cm，然后先释放 a 振子，经过 0.4s 后，再释放 b 振子。如以 b 释放的瞬时为时间的起点，问两个振子位移与时间的关系各如何？并用旋转矢量表示这两个振动。分析：求两个振子位移与时间的关系，即求这两个振子的振动方程。由从平衡位置拉开 5cm，然后释放（静止释放）可知 A=5cm 又已知 T，只需求 解： 2T1sradcmco()5cos()bbbxAtt以释放 b 时为 t=0，则0s1bxAcm5cosxtt=0.4s 时，a 的初相位 20
4、.45aTcmcs(0.4)xtxb2/5o31ax4-4.如题 4-4 图 a、b 所示的位移时间曲线，分别写出这两个简谐振动的表达式。分析：已知 A，从 t=0 和 t=1 时物体偏离平衡位置的位移，可求 和 。因为 sin()vAt则 v 与 的符号相反。 , ； ,sin()t00v0)sin(t解：（a）设振动方程为 cos()xtt=0 时 02Ax1cs3又 0vcos()xAtt=1s 时 10xcs()332又 10v2651sradcos()xAt（b）设振动方程为 cs()xt0xcos20v由图可知 T=2s 1Ts2rad32cos()2xAt4-5.两物体作简谐振动
5、，它们的振幅和周期分别是 10cm 和 2s。当 t=0 时，它们的位移分别为 10cm 和-10cm，二者的相位差是多少？是同相还是反相？当 t=1s 时它们的位移各是多少？分析：已知 A 和 T，由 t=0 时的位移可求 ；将 t=1s 代入两物体的振动方程，可得t=1s 时它们的位移。解：（1） 1211srad01cosxA10022这两个简谐振动反相。21(2) 它们的振动方程分别为 cmtxcmtx )cos(10os021 当 t=1s 时 cm1cm2cs()cs10xt4-6.一物体作简谐振动，频率为 5Hz，初相位为 。若 t=1s 时的振动速度为2m/s，求其振幅。分析：
6、由速度公式可求 A解： sin()2vt当 t=1s 时， ,则10sin()2A A = 0.1m4-7.一物体作简谐振动，已知 ，A=0.04m。若 t=2s 时，其振动速501srad33度 m/s，求其振动初相位。2v分析：由速度公式可求 解： sin()vAt432si10，4-8.物体的振动方程为 cm。求此物体由 x= - 6cm 处向 x 轴负向12cos()3xt运动并回到平衡位置所需要的时间。分析：此类题由矢量图解法求解较为简便。画出物体在 x= - 6cm 处和平衡位置处所对应的矢量位置，由矢量图解法，所求时间为矢量由图中虚线所示位置转到实线所示位置所需要的时间。解：/3
7、 -6cm o x4-9.一弹簧振子，其 m=0.5kg，k=50 N/m，A=0.04m。求：（1）当位移 x=0.02m 时，振子的振动速度、振动加速度和所受的回复力；（2）若将振子具有正的最大振动速度时作为计时零点，写出其振动方程。解：（1） 105.sradmk在此过程中矢量所转过的角度为 则53265s6tt3422sin()1co0.346m/svAtx2222cos()(8)9m/saAt1NFkx（2） 设振动方程为 s()t则 0.4co)tt = 0 时 x=0s20vm.4cos(1)xt4-10.有一质量为 1.5kg 的弹簧振子水平放置，当其受到 7.35N 力的作用
8、时可伸长0.25m。现将其拉离平衡位置 m 后由静止释放。求：（1）其作简谐振动的周期；（2）3最大振动速度；（3）最大振动加速度；（4）机械能。分析：对于弹簧振子，由 m 和 k 可求其固有周期。解：(1) FxNk/4.295.07sTsrad42.11(2) mAvm/47.3(3) 22ax65s(4) 1.JEk4-11.一轻弹簧在 60N 的拉力作用下伸长 30cm，现将质量为 4kg 的物体悬挂在其下端，待其静止后，将物体下拉 10cm 由静止释放。求：（1）物体在平衡位置上方 5cm 处并向35上运动时的加速度的大小和方向；（2）物体由平衡位置运动到上方 5cm 处所需最短时间
9、。分析：（1）对于弹簧振子，由 m 和 k 可求其固有频。此题无法求出 ，故无法用公式直接求出加速度，可利用加速度与位移的关系求出加速度。 （2）由矢量图解法求解。画出物体在平衡位置所对应的矢量位置（位置 1）和距平衡位置上方 5cm 处所对应的矢量位置（位置 2） 。矢量由位置 1 转到位置 2 过程中，所转过的最小角度所对应的时间即为题中所求的最短时间。解： 取向下为 x 轴正方向（1） Fkx602N/m.3 cos()aAtx xt22)cs(21a 0.5mx 15040sradk m/s2 方向向下.a（2）st074.56-0.05/6o x4-12.一弹簧悬挂 10g 砝码时约
10、伸长 8cm。现将这根弹簧下悬挂 25g 的物体，使它作自由振动，对下列情况分别求出振动方程。 （1）开始时使物体从平衡位置向下移动 4cm36后松手；（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上 21cm/s 的初速度，同时开始计时；（3）把物体从平衡位置拉下 4cm 后，又给以向上的 21cm/s 的初速度，同时开始计时。分析：由 k 和 m 可求出 。 （1）由静止松手可得振幅为 4cm；（2） 、 （3）问用公式求振幅。20vAx解：取向下为 x 轴正方向（1） gkl329.810.5N/mmkl3.571srad04cos1xA0cmcst（2） cm2037vx0cosA20vcm3c
11、s(7)2xt（3） cm20145vA0sinA0213i75v3.cm5cos(021)xt4-13.一物体作简谐振动，振幅为 15cm，频率为 4Hz。试计算（1）最大速度和最大37加速度；（2）位移为 9cm 时的速度和加速度；（3）从平衡位置运动到相距平衡位置为12cm 处所需的最短时间。分析：（2）由于无法求出 ，故不能由振动方程求出位移为 9cm 时的速度和加速度。可通过对 进行适当的变换，得出含有位移的项，代入位移 9cm，可sin()vAt求解。由于没有给出物体运动的方向，所以在 9cm 处，物体的运动速度可能为正，也可能为负。但加速度只能指向负方向。 （3）由矢量图解法可得
12、。解：（1） 2481sradcm/s2max5203.8vAcm/s222 3()196510（2） 2sincos()vtAtscmAxt /3019615201)(cos22 222 /5687)8()cos(ta （3）用矢量图解法可知，所求时间为矢量从图中虚线位置转到实线位置时所用的时间。这一过程矢量转过的角度为st037. 180.53812arcin1s012o x/cm4-14.质量为 10g 的物体作简谐振动，其振幅为 24cm，周期为 1.0s，当 t=0 时，位移为+24cm。求：（1） 时物体的位置及所受力的大小和方向；（2）在 x=12cm 处1s8t38物体的速度、
13、动能、势能和总能量。分析：（1）已知 T 和 A，又已知 t=0 时的位移，则可求出振动方程。将时间代入方程可得出所求位置。由 可求出 k，由 F= - kx 可求给定时刻物体st8m受力的大小和方向。 （2）根据简谐振动的能量公式求解。解：(1) 设振动方程为 cos()xAtT1radm0.24cs()xt当 t=0 时,x=0.24mo10m0.24csxt当 t= s 时,得18m.os.17Nmk /3940)2(0.394.cs.6FxN 指向负方向（2）22sin()1co.3m/svAtxJ22310.94(.1).80PEkJAPk 35.84-15.一质点同时参与两个在同一
14、直线上的简谐振动： 和 10.5cos(2)m3xt39。求合振动的振幅和初相位。220.6cos()m3xt解： 2 444211212cos()5103601.0mAA12insitacoA)3(4,或这里 不能取 ，因为 x1和 x2是两个相位相反的振动， ，3 )32(合振动与振幅较大的那个振动同相位。此题中 A2A1，所以合振动与 x2同相位， 只能取（或 ）432（或43)4-16.两个在同一直线上的简谐振动： 和130.5cos()m4xt。求：（1）合振动的振幅和初相位各为多少？（2）若在此直20.6cos()m4xt线上另有一简谐振动 ，分别与上两个振动叠加。 为何值时，30.7cos()xt的振幅最大？ 为何值时， 的振幅最小？13x23x解：（1） 2 21112cs().01mAA21
