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1、47第三章 一维定态问题在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题 一维定态问题。其好处有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。1 一维无限深势阱（一） 一维运动 当粒子在势场 中运动时，其定态 Schrodinger 方程为：V(x,yz)此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： 123V(x,yz) =( +y) V(z形式，则定态 Schrodinger
2、 方程可在直角坐标系中分离变量。令 ，代入定态 Schrodinger (,) ( )( , xyzxyzXYyZzE方程等式两边除以 ，得,)()(xyzXxYyZz（于是定态 Schrodinger 方程化为三个常微分方程2(,)(,)(,)HxyzExyz22 123)()()(,)(,)dzVxyzEz 2 2 21 2 3( ()(,)ddYZXVXYZVzxyzd2 2 21 2 31 1( )()ddVzEd Z J48所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。（二）一维无限深势阱已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内势能为零。在阱外势能为无穷大，称为一维无限深方势阱。例：如图所示，一块
3、无穷大并足够例：如图所示，一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为厚的平板，取厚度方向为 z 轴，板轴，板上沿上沿 y 方向开一条无限长的缝，沿方向开一条无限长的缝，沿x 轴的缝宽为轴的缝宽为 2a。电子束由板的下。电子束由板的下方入射。单就电子在方入射。单就电子在 x 方向运动而言，便是一个（沿方向运动而言，便是一个（沿 x 方向）无限方向）无限深方阱问题。深方阱问题。(1）列出各势域的定态 Schrodinger 方程一维定态 Schrodinger 方程为改写成势 V(x)分为三个区域，用 、和表示，其上的波函数别为 21223()()()()xyzdVxXEyYdzZ0,|()xaVx-
4、a 0 aV(x)IIIxze222()()0dxVExJ49和 。则三个区域所满足的方程分别为：,III其中 为常数。2/,2/VEE(2)、解方程满足上述方程的一般解分别为波函数应满足条件:1.单值。显然成立； 2.有限。当 x - ， 有限条件要求 C2=0 和 B2=0。当 x + ， 有限条件要求 C1=0 和 B1=0。所以 。 从物理考虑，粒子不能0,II透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 (-a) = (a) = 0。于是方程的解可表示为(3)、 使用标准条件 3，波函数连续。由 得()()IIa同样由 得 IIa波函数导数在边界
5、x = a 不连续22()()0IIdxxa22()()0IIdxax22IIx1212sin()IxxIxxCeAB0,sin(),.IIAxsin()0,AiaJ50在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若 I(-a)= II(-a)， 则有，0 = A cos(-a + ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。前述方程有两组解:I、sin=0; 、cos =0. 、sin=0 于是 =0，因而 sina=0,得因 ，所以能量本征值和对应本征函数为2/E不难看出，粒子的能量只能
6、取分立值，这表明能量具有量子化的性质。 n 叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，n=1 称为基态，粒子处于最低状态， 称为零点能。122/Ea讨论： ，状态不存在。000,sin0IEAx当 时 ： ，描写同一状态。sinIk kAxaa当 时 ：所以 n 只取正整数，即 。1,2n、cos =0 于是 =/2，因而 cosa=0,得所以于是对应的本征态波函数为：1(1/2)() (0,1,2,)2nan na22 2(1)(1/)8n nE a (0,12,)nanna2222n nnaasisiInAxxJ51类似 I 中关于 n = m 的讨论可知 。于是能量本征值和对应本征函数
7、可表示为 能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。下图为基态，第一激发态和第二激发态波函数及对应几率。120 1si()cosscos22IInI nnAxxAxAxaa 0,12,n0,sin02,coIIImIIImAxa 的 偶 数奇 数 。28mEaJ52-a 0 a 1 -a 0 a| 1|2-a 0 a 2 -a 0 a| 2|2 -a 0 a 3 -a 0 a| 3 |2 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处， = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4）由归一化条件定系数 A于是2222
8、|aaIIImmadxdxdxdx 2|aImdx2|sin1|coaaAxdevnamod21| a（ 取 实 数 ）J53（三）宇称（1）空间反演：空间矢量反向的操作。 （2）此时如果有： ，那么 (,)(,)ttr若 ，则称波函数具有正宇称（或偶宇称）；(,)(,)ttr若 ，则称波函数具有负宇称（或奇宇称）；（3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇(,)(,)ttr称。（四）讨论一维无限深势阱中粒子的状态其能量本征值为：（1） n = 1,基态能 ，与经典最低能量为零不同, 21/80Ea这是微观粒子波动性的表现,因为“静止的波”是没有意义的。（2） ，态不存在，无意义。而 n
9、= k, 0,0k=1,2,.。 可见，n 取负整数与正整数描写同一状态。 （3）波函数宇称 (,)tr r0|;1sin,2co,|.n xaxevnaodx2,1,23nnsinsin22coconk kAxxaa()()nnxevnod当 奇 宇 称当 偶 宇 称J54（4） ，即波函数是实函数。nnx（5）定态波函数也可表示为思考题:1.在动量表象中一维无限深势阱粒子的波函数是什么?2.前面给出的电子穿过带孔的无限平板模型中,如果入射电子能量小于时,会发生什么现象呢 ?21/8Ea/0|1sin(),1,232nn iEtxaxaenJ552 线性谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系
10、在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的（一）线性谐振子（1）方程的建立线性谐振子的 Hamilton 量：则 Schrodinger 方程可写为 ：或为简单计，引入无量纲变量 代替 x，令 其中 ，x/则方程可改写为 22 2()0d Ex其 中此式为变系数二阶常微分方程。（2）求解为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当 时波函数 的行为。在此情况下，V令 。因为 , 所以 ，22 20/,()/kkV 0E ,V
11、1k 0。上面的方程可改写为：2 解得：21123130kxIaI区 区 区 112211123ikxikxiiikxikxAeBC定态波函数 分别乘以含时因子 即可看出：式中23, exp-iEt/ 第一项是沿 x 正向传播的平面波，第二项是沿 x 负向传播的平面波。由于在 的区没有反射波，所以 ，于是解为：aC=0112213ikxikxikxAeBC0 aV(x) 0II IE66利用波函数标准条件来定系数。解的单值、有限条件显然满足。由 和 点波函数及其导数连续得0xa2212211, ,ikaikaikaikaikaikaABABeCeeCe 求解方程组得: 1 122 221 11
12、()sin4,()()ikai ikaikaikaeCAAk ee 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。 I、透射系数：透射波几率流密度 与入射波几率流密度 之比DJ IJ 称为透射系数 。DI =J/ II、反射系数：反射波几率流密度 与入射波几率流密度 之比RJ IJ称为反射系数 。RI J/其物理意义是：描述遂穿到 的区中的粒子在单位时间内xa流过垂直 x 方向的单位面积的数目与入射粒子（在 的区）0x在单位时间内流过垂直于 x 方向单位面积的数目之比。一维几率流密度矢量定义为 。对一维定态问2iddxxJ题， J 与时间无关，所以入射波 。则1
13、1= Aepik, *= ep-ikx入射波几率流密度为 11112 |2ikxikxikxikxIddJAeeA67反射波 ，所以反射波几率流密度为 。1= Aexp-ik 21|RkJA其中负号表示与入射波方向相反。透射波 ，所以透1= Cexpi射波几率流密度是 。21|DkJC于是透射系数为 2212114|()sinI kAak同理得反射系数 。22121i|()4RIJk显然有 ，说明入射粒子一部分穿过势垒到 的区，1DR xa另一部分则被势垒反射回来。（2） 情况 0EV因 ，当 时， 是虚数，故可令 ，其中1/2k=(-)0E V2k23k=i。这样把前面公式中的 换成 ，并注意到/30 23i，得3sin aisha21221331324,()insihkDkRa显然，在一般情况下即使 ，透射系数 也并不等于零。粒0E VD子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应（tunnel effect），它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。上图给出了势垒穿透的波动图象。讨论：0 aV(x) x0隧 道 效 应隧 道 效 应68（1）当 时，即势垒既宽且高，于是 ，则3
