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1、几种特殊四面体的判定及其性质 王 抒 四面体是立体儿何的重要概念 , 为充实传 统的立体几何教材 , 本文试将具有某些特征 的 凸四面体分类后 , 讨论其判定和性质 。 1 , 万 La+ ”+“ ) , 1 , 。,。 、. _ , 。 一万 叹。 一 + “ 一 + “ 一 几以刀叭刀刀 , 一等腰四面体 定义 对棱都相等的四面体称等腰四面 体 。 判定定理 点和在这三侧面 上过该交点的三 条对角线的端点 组成的四面体是 等腰四面体 。 已知 : . 如图 1 , 长方体刁丑已刀 一A , B C , D 产 中过 以长方 体三个相交侧面的交 厂厂厂 图 1 顶点 A的三条对角线是AC ,
2、 AB , , AD , 。 求证 : AB ,C刀 ,是 等腰四面体 。 证 : 在长方体 A B口D 一 A ,B C , D 中 , 连结 刀c , B , D , C D , 由长方体的性质知 : 通刀 = 口刀 , A C 二 B , D , AD = B , C 。 月刃 , 刀,是 等腰四面体 。 如果在等腰四面体 且刀口刀 中 , 设 刀口 = 通刀 =a , C A = 丑刀 = b , 通刀 = 已刀 = c , 且令 P = 口刀 为棱的侧面 间的两面角依次 是 a , 刀 , , 。 并 记B C刀 , AB C , 通丑刀 , ACD的面积依 次是 S , S :,
3、凡 , 凡 。 四面体的体积为厂 。 那末 可得如下的性质 : 性质一:l等腰四面体各面都是锐角三角 形 。 性质二 等腰四面体各面的面积 相等 , 且为全等的三角形 。 即 尽 = 习 , 二 凡 二尽。;BCD 丝刀C望A B D望通C刀 。 证 : 由等腰四面体的定义得 , 各面都是 由 边长为 a 、 石 、 c 三边组成的三角形 。 即 : 在刀C刀中 刀 C =a , 丑刀 = b , 口刀 = 匀 在ABC中 BC =a , 通C 二 b , AB 二。, 在通丑刀中 月刀 =a , 刀刀 = b , AB =“, 在刃已刀中 月刀 =a , 且 = b , 口刀 = c o S
4、 = S : = 凡 = a S , 且BC D望通召C里 ABD望A- CD 。 性质三 等腰四面体的体积可 表示 为 : 1 犷 = 一二甲 3 (希 2一 a , ) (方 2 一 b Z ) (k , 一e Z ) 。 证 : 过等腰四面体 AB C D 的棱分别作辅 助平 面 , 使各棱分别为长方体中各面上的对角 线 。 令长方体的棱 长分别 是 二,夕,: 。 如图 3 , 声声 了了 吞一8 得 心叭氏 一 一 =户护 犷 +十十 犷 扩护 了 1 1、,l一 21 , _。 。、 /万二犷一丁; f劣= j 二二e e 又o 一 十c - 一J)= 叼 - 一“ - 、 , 兰
5、 一 111 , 。, 钱 、 了万叹厂一代刃犷 、夕 = 盯了忧 一 十a 一 口一)“ 丫 布一u - ! , 、 飞/1 , 。了 。 、 了一又可一 二r 、么 二 了不,又a 一 十o - 一c 一 )= 丫 - 一 习 乙 (1) 又因为长方体被等腰四面体占有了中间的 部分之外 , 还剩下四个体积相等的小四面体 , 且 体积是 含 又 合 , 一含 ,一 证 : 如图 5 , 记等腰四面体A BC刀的高是 通口 , 丑是通刀C 一 中 B O 边上的高 。 由三垂线 定理的逆定理得乙通丑习是 侧 面 通刀口和 侧面 刀口刀 两面 角的平面角 记乙且万O =“ 。 且在 _ ., _
6、 二 A O RtAHO中 : 滋n 。二 一手音, BC =a , 一二 峨击- 一 一“ - 一一 AH 一一 一 而长方体的体积是 二罗。 , 1 f=汤岁之一任x .二-不岁z D 1 = 下 汤岁z。 O 又 犷 二 含 “ A。 , “ 二 百 a 连任, 由( 1 )得厂 二 性质四 1 , :, 一 , 。,。 . ,。一- 一气刃 二厂、/ (布 一a ) (布 . 一O , ) (布 一C ) 渗 , 3aV 日Ina 二 厄 云了 。 等腰四面体中 , 三个侧面间两 故 a Slna 面角余弦和为 z(即 oosa+ “ 05刀+“ 057=1) 。 同理可 证 b si
7、n对 b “ 示动 25 名 = 万百 。 25 2 口 二 万犷 ; 示五石 25 , 3V a Sln“ 口 Sin 刀 25 3 3V 。 性质六 等腰四面体中 , 侧面 间两面角 的半角余弦满足下列等式 : a Z (无 2 一a , )b Z (无 2 一 b , ) eZ(kZ一eZ) 。 “ C O S“ 二, 艺 。一譬 e“ 52 合 45 , 。 证 , 记等腰四面体 AB CD 的顶点 A在 B )刀 上 的 投影是 O 。 则BCO , B D O , 石叨O的面积分别是 : 风e o s自 凡c o 。刀, 召 seos , , 得 S 二 习 ic os a+ 习
8、: eo 。刀+ S ae os护。 由性质二得 习=S (。 0 5“ + e o。启+e o。二 ) 。 e o” a+cos 刀+ eos护=l 。 性质五 等腰四面体中 , 侧面间两面角 的正弦满足下列等式 : a b o . Zs , 云而妥=砚 五石 “ 蔽石不=万 。 性质七 等腰四面体中 , 对棱夹角的余 弦可表示为 : c o s(c ,e ) = e o 。 (乙 , b) = /、 cos ( a ,a ) = 旱 卜 ,竺 矛 竺 ; 旱 。 性质八 等腰四面体对棱中点的连线共 点 、 互相垂直平分 , 且是对棱的公垂线 。 性质九 等腰四 面体对棱中点连线的长 几 ,
9、 凡 , d c可表示为 : 凡 二 V7 而 。; 凡 = 犷 一 护一护 , d c = 罕护一砂 一。 占 一1夕 证 : 如图6 , 在等腰四面体 月刀口刀中 , 对 棱 丑口 , 通刀 的中点是 P , P ,。 则 尸尸 = 几 。 连 结 月尹 , 在ABC中 , 由中线定理得 s B A C A “ 二 2 沙 (粤) 即 ZP A Z二 。: + ” , 一 合 a ,。 连结尸刀 , 在AP D中 , 同理可得 (1) A p D P 二 2 (P P , 二 (等) ) 。 A P二尸刀 , 。 , 二 , 。 。 一, 1 一 , 。 、 一 二 一 十 百 a 一。
10、“ ) 求证 : O AB C 是直角四面体 。 证 : , 口五土BC , 匕O AB = 9 0 。 。 . OA土OB , 得 OA垂直侧面OB C , . OA土O C , 即匕通口口 二 9 0 。 同理可证匕BOC = 9 0 。 , 由定义得 O ABC 是直 角四面体 。 推论一 两组对棱垂直且有一个面角为 直角的四面体是直角四面体 。 一 推论二川四面体一顶点到对面的投影是 该面的垂 心 , 且该顶点的三面角的面角中有一 个是直角 。 那么这个四面体是直角四面体 。 比较(1) , (2)得 。h 。 , 1 。, 1 乙 J尸尸 一 十 , 二一a 一 之C一十O - 一
11、-二一a 一 艺艺 二 ,一 合 (“ + “一a “ , = “ 一a“ 故 心 二 甲护 一 扩 。 同理可证 d。 二 创平丁了 ; d c = 、 门阿不孑 。 性质 十 等腰四面体的内切球半径 表示为 : 护可 图8 1 犷= = 4 (希 2一 a . )(希 , 一 b , ) (希 , 一e , ) P(尸 一的( P 一 b ) (P 一刃 二 、 直角四面体 定义 有一个三面角的面角都是直角的 四面体称直角四面体 。 判定定理 对棱都垂直且有一个面角为 直角的四面体是直角四面体 。 已知 : 四面体OA BC中 , 如图 7 , OA土B口, OB土 C A , oC一A
12、B , 乙O AB 二 90 。 如果在直角四面体 OABC 中 , 设 O A 二 a , OB = 乙 , O C =c , 且匕A OB 二 匕BOC 二 匕C OA = 9 0 。 , 体积是V , 内切 、 外接球半径是 犷 、 R 。 且记 A BC 、 OA B 、 OB C 、 OC A的面积依次 是 S , 夕 :, 习 :, 召 : 。 (如图8) 。 则可得如下性质 : 性质一 .“ 直角四面体中 , 不含有直角的 侧面是锐角三角形 。 性质二 直角四面体中 , 不含有直角的 侧面面积可表示为 : “ 二 韵? 乎丁石 兀耳 乞 ? 占一20 图9 证 : 如图9 , 直
13、角四面体 OABo 中 O A 二 a , OB 二 b , OC =c , 且匕通口B = 艺刀口O = 乙COA 二 90 。 。 在 RtO AB 中 , B A Z 二a , + b ., AB 二 创石 ,下不。 同理可得 B C = V写不花r ;c A 二 创屯 亏 耳玉可 。 那么 , 在o B A中 , , 二 合 认后不不犷 + v 而 十 丫了不了 ) , 由海伦公式得 图10 口OAB , 公OB G , 公OGA , 口 ABO , 记它们的体 积依次是V l 、 风 、 矶 、 玖 。 则 1 。 _ , 1 。 _ , 1。 _ , , 1 。 _ 砚 = 言l
14、r S ,玖= 俨内 凡 二 言命 , . V 二 合 机 又 . 质三) F = V l 十 玖 十 玖 + . V , 且F 二 青 a酝。 (性 工动 c 6 = 告 : (5 1 + S : + S + S, 。 即 “ = 奋 、 十、 一 十 甲7 了了 ) 合 (寸万石花r +、 /乎丁了 一 如不 .丽 ) 合 (创 十 创万 豆下丽一 创荡 亏 不落r) 合 (、/? 下万 十 甲 .丽丁歹 一 创落 面下石歹) a b 己 2(S , + 泞 : + S 。 + 泞) a 石 。 ( S : + 凡 + 凡 一泞) 一 2(尽: + 习 : + 习 : ) 2一 5 2。
15、又 . ( S : + S : + S 。 ) , 一召,= 召全 + 习孟 + S盆 + 2(泞 1夕: + 凡夕 。 + 夕 。 S , ) 一召, = 专 一“ + 专 “一 专 一 +2 (专 “”“ . r 了 1l J w e w e 整理后得 。 1 。= 万丫 a, b Z+ b钻 2+ c,a ,。 + 专 ”。 专 C二“ ) 一 S :, 性质三 直角四面体的体积可表示为 : 1 r= 一二,a 口口 6 由性质二 , 夕 = 生 4 ( a , b , + b戈 , +e ,as ) , 性质四幻直角四面体的六条棱长的和乙 为定值时 , 直角四面体的体积最大值可表示为 : (s ! + “ : + “ 。): 一 5 2二 合 a 。(。 + ” +。 , . 性质五 示为 : 5订百 一7 ,. - 了蕊; 犷一 一奋, I D乙 , 直 角四面体的内切球半径可表 故 a 西 e ( S : + S : + S 。 一S ) 。 1 Z x 令 a 阮( a+ b+ c ) 一 2 -、- 一 , S , + S : + S : 一 S a+ b+ c S , + 凡 + 凡 一召 a十 b+ c 性质六 直角四面体的外接球半径可表 示为
