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1、传递过程原理 湘潭大学化工学院37第四章 边界层理论问题的提出：以管内流动为例：流体流经管道时，所产生的阻力来源于二个方面即主体阻力及边界层阻力，对于边界层内，由于流速小，故惯性力（Re 数）小，而边界层外（主体中）则流速大，惯性力（Re 数）亦大，那么能否认为此时流动阻力主要来源于主体或反之？根据牛顿粘性定律可知：阻力大小仅取决于流体本身粘度大小，还与流动空间的速度梯度有关。狭义牛顿粘性定律为 dyu广义牛顿粘性定律为 H1 边界层概念1边界层概念普兰德 Prandtl 1904 年提出：实际流体流经物体表面时，必然会在紧靠壁面处，形成一层极薄的流体膜附着于其上，且在壁面上其流速为零处于静止
2、，且在其上方与流向相垂直的方向上存在很大的速度梯度，此即为边界层，其厚度取决于 Re 数。2边界层的形成形成原因：粘度形成过程：如图所示。随着自由流向前流动，速度受影响的区域逐渐增大。平板前端受影响较小时的一段区域称层流边界层。平板尾部受影响较大的一段区域称为湍流边界层。处于二者之间为过渡层。应当注意的是： 即使在湍流边界层内，靠近壁面的位置仍有层流内层存在；在层流内层稍上方，有过渡缓冲区；中心部分为湍流主体。 当边界层的厚度不再随自由流流过的距离（平板或管道长度）而变化时，称为充分发展的（层流或湍流）流动。 层流边界层与湍流边界层的分界位置（长度或距离） 与壁面形状、粗糙度、流cx体性质及其
3、流速有关。 即 ccfxRe0uxc图 29xux图 30层 流 边 界 层 过 渡 区 湍 流 边 界 层层 流 内 层自 由 流传递过程原理 湘潭大学化工学院38对于光滑平板 在 21053106 之间。cxRe3边界层的厚度严格地说，在流动空间中，对于实际流体没有所谓的“不受影响”的“自由流”即“主体”存在。故边界层为无限厚，但为了讨论问题方便，常将流速小于或等于 99%自由流（主体）流速所对应的流体层厚度（与流速相垂直方向的离开壁面的距离）称为边界层厚度。可见对于管中流动，其边界层厚度 =R,而不论流动状态处于层流还是湍流。因为当流体在管内流动时，只有管轴中心线上的流速等于其自由流 U
4、0。2 阻力（曳力）系数与范宁系数1定义 阻力系数 AuFdcD20式中： 流体运动时对物体（颗粒或管道壁面等）所施加的总曳力（阻力） ；Fd 与流体运动相垂直方向上物体的投影面积。A前已知道，对于牛顿粘性定律，当其处于爬流（极慢运动）时， Re24Dc2定义范宁摩擦系数 2bsuf式中 壁面处的粘性应力（剪应力） ；s流体主体流速。bu同理对于层流（Re2000）运动的流体，当其处于管内流动时：； ； 。drur2max1Rrur max21ub故： 41Re618212 22max2abbRrbs uduuf传递过程原理 湘潭大学化工学院39式中： Re64 3 边界层方程及边界层厚度分析
5、1 二维不可压缩流体稳态流动的 NS 方程对于 X Y 平面上二维不可压缩流体稳态流动有：， 及 0yxu0zuyx 022zuyx并假定（x,y ）平面上无体积力（质量力） ，即 X=Y=0则可得二维平面稳态流动的 NS 方程：221yuxpyuxu xx22yx及不可压缩流体连续性方程： 0yux2各物理量的数量级分析具体对于平板上的边界层，分析各量的数量级可知：x 1 (标准量级，常量级，宏观量级)1uy (小量级，微分量级)，已由实验测定证明y故： 1 及 1xuxu 1 及 （本组方程由连续性方程亦可看出）yy 即 1 xu2x xyux图 31d传递过程原理 湘潭大学化工学院40
6、即 yuy2uy1 及 即 yux1yx2yux1 及 即 xyxu2xy3Prandtl 边界层假定于是原方程组的数量级关系为：方程 1： 221yuxPyuxu xx1 1 1 （ 1 ）2由于边界层内，粘性力与惯性力具有数量级相当的关系，故可知： 12yux即： 或 及 21xp同理对方程 2 进行量级分析有： 32221yuxypuxuyy于是可推知： yp即：在垂直于平板方向 y 的流动边界层内，其压力几乎不随边界层厚度而变化，而在流动方向，则压力变化 较大。此x即为 Prandtl 边界层假定。传递过程原理 湘潭大学化工学院414边界层方程简化根据这一假设，前述方程 1 可简化为：
7、（a）2yuyuxuxx而方程 2 为小量级方程，可以忽略不计。及连续性方程： （b）0yx上述二式的边界条件则为： y=0 时 ux = uy = 0y=时 ux = u0( ub)5柏拉修斯（Blasuis）公式根据以上各物理量的数量级分析，可见：若以平板长度作为特征尺寸来表示流体沿平板流动的雷诺数，则：2001Rexux及： 或 21exx21Rexk此即为著名的柏拉修斯（Blasuis）公式。6普德德、卡门边界层积分动量方程及讨论 虽然经过量级分析及简化，使普德德边界后方程大为简化，但仍难于求解（非线性方程组） ，为此，卡门（Von Karman）经过对边界层微元进行动量衡算得到了一个
8、边界层积分动量方程： ssxdyudx 0方程适用的条件：1. 不可压缩流体；2. 二维（x ,y）稳定流动；3. 从简化得到的 Prandtl 边界层方程只适用于层流，而卡门边界层积分动量方程既可层流，亦可湍流；4. 由简化的普兰德边界层方程经进一步推导，亦可得到与 Karman 方程一致的结论。 4 边界层（积分动量）方程应用举例1边界层厚度的计算柏拉修斯（Blasuis）公式xyx0图 320传递过程原理 湘潭大学化工学院42根据实验观测，层流边界层的速度分布可以用以下多项式表达32dycbaux且满足： 故 ；0yx0 在壁面处（ ） ， 极小，即xu该处流体动量亦很小，动量沿 x 方
9、向的变化率忽略不计。 故 常数 即 0yxd02yxdu对不可压缩流体则为 ，故 02yxduc 在 处，其流速已接近自由流（主体流速 ） 。y maxu故 ，又 ，0yxduy0x故得 3320 dbdcba及 020dyux于是 ： （a）3013yux将上述关系（a）代入 Karman 边界层积分动量方程左侧，得： 0 200028391udyudyxx故： sx20839又：对于牛顿型流体 dyuyuxy0图 3传递过程原理 湘潭大学化工学院43故： 300213yudxxs 02us于是： （b）dx0890u由初始及边界条件： 积分（b）式得：,064.ux即： 210Re.4xx
10、柏拉修斯（Blasuis）公式讨论： 根据实验发现，对于光滑平板，边界层由层流转变为湍流时的临界雷若数，则： 5103Recx 210Re64.ccxxcux或： 254Re6.4e1ccxx这说明平板上的层流 Re 数与管内层流的临界 Re 数大致相同（25402000） 。 进入边界层的流体体积流量与质量流量可由下式求取：体积流量： AxxbdyuV00质量流量： 0Wx2充分发展（到管中心）的边界层对应进口段管长 Le 的计算朗格哈尔近似解：Le /D= 0.0575Re D 式中： bDuReyxA0图 34传递过程原理 湘潭大学化工学院44例：试计算流体在圆管中充分发展流动时，所对应
11、的边界层厚度 c。已知： d = 20 mm = 1cp ub = 0.1 m/s = 1000 kg/m 3解：由朗格哈尔公式有：Le = 0.0575 D ReDReD = （层流）201.023故 Le = = 2.3 m57.又： bLe uu 2106.40.R530 根据 Blasius 公式有：流体的湍流边界层厚度即 21e64.x21Re.L得： Le = 0.0157m = 15.70mm但根据理论分析可知：对圆管，其充分发展流动后所对应的边界层厚度 Le 0.5d0 即（10 mm） ，可见以上结果有很大的误差。产生误差的主要原因：求解推导边界层方程中的许多项被忽略及方程的近似性，但在量级上仍具有一定的定性指导意义。由 及边界层定义有： 2max1Rrur max9.0ur故： =（R-ax9.02axr）= 0.9R = 9mm。3 流体流经壁面（平壁或流线性壁面）时的阻力（曳力）系数 CD 前已算出：流体流过平壁时，其壁面距平板前端 x 处 层流边界层中的速度分布及剪应力， 30)(213yu02usx又： 故 064.u2120Re3.xsxu若不计形体阻力（F df）而只计摩擦阻力 Fds 则： LbdxbdxsdLLs 30000 64.132. 0 xLb图 35传递过程原理 湘潭大学化工学院45根据阻力系数 （C D）的定义：Fd
