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1、第 4 专题带电粒子在电场和磁场中的运动例 1如图 410 甲所示，在真空中，有一半径为 R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外在磁场右侧有一对平行金属板 M 和 N，两板间距为 R，板长为2R，板间的中心线 O1O2 与磁场的圆心 O 在同一直线上有一电荷量为 q、质量为 m 的带正电的粒子以速度 v0 从圆周上的 a 点沿垂直于半径 OO1 并指向圆心 O 的方向进入磁场，当从圆周上的 O1 点水平飞出磁场时，给 M、N 两板加上如图 410 乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于 N 板的速度从 N 板的边缘飞出( 不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计)图
2、 410(1)求磁场的磁感应强度 B(2)求交变电压的周期 T 和电压 U0 的值(3)当 t 时，该粒子从 M、 N 板右侧沿板的中心线仍以速度 v0 射入 M、N 之间，求粒T2子从磁场中射出的点到 a 点的距离【解析】(1)粒子自 a 点进入磁场，从 O1 点水平飞出磁场，则其运动的轨道半径为 R由 qv0Bm ，解得：B v02R mv0qR(2)粒子自 O1 点进入电场后恰好从 N 板的边缘平行极板飞出，设运动时间为 t，根据类平抛运动规律有：2Rv 0t2n ( )2R2 qU02mRT2又 tnT (n1,2,3)解得：T (n1,2,3)2Rnv0U0 (n1,2,3)nmv0
3、22q图 410 丙(3)当 t 时，粒子以速度 v0 沿 O2O1 射入电场，该粒子恰好从 M 板边缘以平行于极板T2的速度射入磁场，进入磁场的速度仍为 v0，运动的轨迹半径为 R设进入磁场时的点为b，离开磁场时的点为 c，圆心为 O3，如图 410 丙所示，四边形 ObO3c 是菱形，所以OcO3b，故 c、 O、a 三点共线，ca 即为圆的直径，则 c、 a 间的距离 d2R答案(1)mv0qR(2) (n1,2,3) (n1,2,3)(3)2R 2Rnv0 nmv022q【点评】带电粒子在匀强电场中偏转的运动是类平抛运动，解此类题目的关键是将运动分解成两个简单的直线运动，题中沿电场方向
4、的分运动就是“受力周期性变化的加速运动”三、带电粒子在有界磁场中(只受洛伦兹力) 的运动例 2 如图 4 11 甲所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为 y 轴正方向，磁场方向垂直于 xy 平面(纸面)向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样一带正电荷的粒子从 P(0，h) 点以一定的速度平行于 x 轴正向入射这时若只有磁场，粒子将做半径为 R0 的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动现在只加电场，当粒子从 P 点运动到 xR 0 平面( 图中虚线所示)时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与 x 轴交于 M 点，不计重力，求：图
5、 411 甲(1)粒子到达 xR 0 平面时的速度方向与 x 轴的夹角以及粒子到 x 轴的距离(2)M 点的横坐标 xM【解析】(1)粒子做直线运动时，有：qEqBv 0做圆周运动时，有：qBv 0mv02R0只有电场时，粒子做类平抛运动，则有：qEmaR0v 0tvyat解得：v yv 0粒子的速度大小为：v v0v02 vy2 2速度方向与 x 轴的夹角为： 4粒子与 x 轴的距离为：H h at2h 12 R02(2)撤去电场加上磁场后，有：qBvmv2R解得：R R02此时粒子的运动轨迹如图 411 乙所示圆心 C 位于与速度 v 方向垂直的直线上，该直线与 x 轴和 y 轴的夹角均为
6、 由几何关系可得 C 点的坐标为：4图 411 乙xC2R 0yCH R0hR02过 C 点作 x 轴的垂线，在 CDM 中，有：l CMR R0，l CDy Ch2R02解得：l DM lCM2 lCD274R02 R0h h2M 点的横坐标为：x M2R 0 74R02 R0h h2答案(1) h (2)2 R02 R02 74R02 R0h h2【点评】无论带电粒子在匀强电场中的偏转还是在匀强磁场中的偏转，偏转角往往是个较关键的量例 3如图 412 甲所示，质量为 m、电荷量为 e 的电子从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为 v0现在某一区域
7、内加一方向向外且垂直于 xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与 y 轴平行的荧光屏 MN 上，求：图 412 甲(1)荧光屏上光斑的长度(2)所加磁场范围的最小面积【解析】(1)如图 412 乙所示，要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可初速度沿 x 轴正方向的电子沿弧 OA 运动到荧光屏 MN 上的 P 点；初速度沿 y 轴正方向的电子沿弧 OC 运动到荧光屏 MN 上的 Q 点图 412 乙设粒子在磁场中运动的半径为 R ，由牛顿第二定律得：ev0Bm ，即 Rv02R mv0Be由几何知识可得：PQR mv0Be(2)取与 x 轴正方向成 角的
8、方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为 E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏 MN 上，故有：xRsin yR Rcos 即 x2(yR )2R 2又因为电子沿 x 轴正方向射入时，射出的边界点为 A 点；沿 y 轴正方向射入时，射出的边界点为 C 点，故所加最小面积的磁场的边界是以 (0，R) 为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图乙中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：S R2R 2 R2( 1)( )234 14 2 mv0Be答案(1) (2)( 1)( )2mv0Be 2 mv0Be【点评】带电粒子在匀强磁场中偏转的试题基本上是年年考，大概为了求新求变，在2009 年高考中
9、海南物理卷(第 16 题) 、浙江理综卷(第 25 题) 中都出现了应用这一推论的题型四、带电粒子在复合场、组合场中的运动问题例 5在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图 414 甲所示磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化情况如图 414 乙所示该区域中有一条水平直线 MN，D 是 MN 上的一点在 t0 时刻，有一个质量为 m、电荷量为q 的小球(可看做质点 )，从 M 点开始沿着水平直线以速度 v0 做匀速直线运动，t0 时刻恰好到达 N 点经观测发现，小球在 t2t 0 至 t3 t0 时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线 MN 上的 D
10、点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过 D 点求：图 414(1)电场强度 E 的大小(2)小球从 M 点开始运动到第二次经过 D 点所用的时间(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹( 只画一个周期)【解析】(1)小球从 M 点运动到 N 点时，有：qEmg解得：E mgq(2)小球从 M 点到达 N 点所用时间 t1t 0小球从 N 点经过 个圆周，到达 P 点，所以 t2t 034小球从 P 点运动到 D 点的位移 xRmv0B0q小球从 P 点运动到 D 点的时间 t3 Rv0 mB0q所以时间 tt 1t 2t 32t 0mB0q或 t (31)，t2t 0( 1)mqB0 13(3
11、)小球运动一个周期的轨迹如图 414 丙所示图 414 丙小球的运动周期为：T8t 0(或 T )12mqB0答案(1) (2)2t 0mgq mB0q(3)T8t 0运动轨迹如图 414 丙所示【点评】带电粒子在复合场或组合场中运动的轨迹形成一闭合的对称图形的试题在高考中屡有出现五、常见的、在科学技术中的应用带电粒子在电场、磁场中的运动规律在科学技术中有广泛的应用，高中物理中常碰到的有：示波器(显像管)、速度选择器、质谱仪、回旋加速器、霍耳效应传感器、电磁流量计等同类拓展 3如图 416 甲所示，离子源 A 产生的初速度为零、带电荷量均为 e、质量不同的正离子被电压为 U0 的加速电场加速后
12、匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板 HM 上的小孔 S 离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界 MN 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场已知 HOd，HS2d， MNQ90 (忽略离子所受重力)图 416 甲(1)求偏转电场场强 E0 的大小以及 HM 与 MN 的夹角 (2)求质量为 m 的离子在磁场中做圆周运动的半径(3)若质量为 4m 的离子垂直打在 NQ 的中点 S1 处，质量为 16m 的离子打在 S2 处求S1 和 S2 之间的距离以及能打在 NQ 上的正离子的质量范围2009 年高考 重庆理综卷【解析】(1)设正离子经电压为 U0 的电场加速后速度为 v1，应
13、用动能定理有：图 416 乙eU0 mv12012正离子垂直射入匀强偏转电场，受到的电场力 FeE 0产生的加速度 a ，即 aFm eE0m垂直电场方向做匀速运动，有：2dv 1t沿电场方向，有：d at212联立解得：E 0U0d又 tan v1at解得：45(2)正离子进入磁场时的速度大小为：v v12 v2 v12 (at)2正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：evBmv2R联立解得：正离子在磁场中做圆周运动的半径 R2 mU0eB2(3)将 4m 和 16m 代入 R，得 R12 、R 224mU0eB2 16mU0eB2图 416 丙由几何关系可知 S1
14、和 S2 之间的距离 s R 1R22 (R2 R1)2联立解得：s 4( 1)3mU0eB2由 R2(2R 1)2( RR 1)2得：R R152由 R1R R112 52得：mm 正 25m答案(1)45(2)2 (3)mm 正 25m mU0eB2能力演练一、选择题(104 分)1如图所示，真空中 O 点有一点电荷，在它产生的电场中有 a、b 两点，a 点的场强大小为 Ea，方向与 ab 连线成 60角，b 点的场强大小为 Eb，方向与 ab 连线成 30角关于a、b 两点的场强大小 Ea、E b及电势 a、 b的关系，以下结论正确的是 ()AE a ， a bEb3BE a Eb， a
15、 b3CE a3E b， a bDE a3E b， a b【解析】由题图可知 O 点处为负电荷，故 b a，又因为 Ea 、E b kQOa2 kQOb2，可得 Ea3E bkQ(r(3)Oa)2答案D2一正电荷处于电场中，在只受电场力作用下从 A 点沿直线运动到 B 点，其速度随时间变化的图象如图所示，t A、t B分别对应电荷在 A、B 两点的时刻，则下列说法中正确的有( )AA 处的场强一定大于 B 处的场强BA 处的电势一定低于 B 处的电势C正电荷在 A 处的电势能一定大于 B 处的电势能D由 A 至 B 的过程中，电场力一定对正电荷做负功【解析】由题图知正电荷在做加速越来越小的加速运动，说明电场线的方向为：AB ，可知： A B，E AE B， A B，由 A 至 B 的过程中，电场力一定对正电荷做正功答案AC3如图所示，带正电的粒子以一定的初速度 v0 沿中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的
