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1、 在初等数论教学中开展参与合作式教学初探成都大学师范学院 冯德雄摘 要:师范院校小学教育（数学）专业开设的初等数论是一门必修课程,它能够培养学生扎实的数学基础知识及数论特有的思想方法。当前数论课堂教学主要是采用传统的讲授式方法,对于培养全程实践、善于学习、高适应的应用型小学教育人才不利。本文提出在初等数论的教学中如何进行参与式与小组合作学习的教学建议和对课堂教学方式作了初探。以便更好地培养适应新时期小学教育的教师。关键词:初等数论; 小学数学；参与式;合作学习; 类比初等数论是小学教育（数学）专业教学中的一门基础课程，初等数论意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，用初等数学的知识与方
2、法来研究数论。数论是一门古老而基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对于现代数学的发展起到了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。初 等 数 论 与 小 学 数 学 基 础 知 识 以 及 小 学 奥 数 的 理论 知 识 联 系 较 密 切 ， 在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。 通过初等数论课程的学习，使学生系统地获得整除理论、同余与同余方程、不定方程等的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的解题方法，培养学生用数学方法解决实际问题的能力,更 深 入 地 理 解 初 等 数 论 与 其 它 邻 近 学 科
3、的 关 系 ,为 将 来 从 事 中 小 学 数 学教 育 奠 定 必 要 的 基 础 。 目前初等数论课程教学方法也比较单一，一般采用传统的讲授式的方法进行教学，类似中小学，采用大量例习题的训练方式。这对于我们培养具有灵活思维能力、具有创新性的适应数学新课程标准要求的未来小学数学教师是没有好处的。对于培养全程实践、善于学习、高适应的应用型小学教育人才不利，因此必须对讲授式的教学方法作改革。我们根据目前小学教育专业学生的实际并结合初等数论的特点，初步探索初等数论的参与式教学与小组合作学习方式。一、关于参与合作式教学参与式学习是指学习者基于自身对于知识的爱好,以及自身学习中产生的困惑而主动参与相
4、关的知识探究的过程。如何让学生愿意参与学习、会参与学习,这就是教师在教学设计时应该考虑的问题。显然参与式学习在小组合作下更利于发挥。我们的参与合作式教学主要是指学生参与教学结合小组合作学习的教学活动，学生在做教学的活动中学习新知识。教师把学习任务抛给学习小组，学生在教师指导下，通过小组合作对教材的内容学习和探究。同学选择并确定要讲授的内容，以教的方式主动获取知识、应用知识、解决问题。参与式与合作学习离不开探究。数学探究学习，是指学生在教师的指导下，通过与数学学科内容相关的课题，学生作为主体参与，体验从提出问题到解决问题的全过程，领悟数学研究的基本过程和方法。参与合作式需要师生合作。在教育教学过
5、程中，师生共同探讨、共同研究，在这一过程中，老师给学生以指点，学生也给老师以启发，相互促进，共同发展。师生合作分为教师与学生个体之间的合作、教师与学生群体的合作；生生合作可分为学生个体之间的合作、学生群体之间的合作、学生个体与学生群体之间的合作共五种类型。师生合作的方式：可分为行为合作、情感合作、认知合作。行为合作是基本的合作形态，指师生在课堂中的行为表现，双方是否积极或者参与学习活动的程度。我们主要做的是行为合作，如在课堂上适时对学生的活动进行点拨。 二、开展参与合作式教学的可能性与现实性初等数论的内容和特点反映了进行参与合作式教学的可能性。初等数论是用（初等数学）中学的数学知识与方法来研究
6、数论，如代数式的恒等变形，整式的加减和乘除。初等数论的整除理论与同余理论，如整除、素数和合数、约数和倍数、奇数和偶数、平方数、同余、不定方程、x、数的非十进制、欧拉函数等内容与中小学联系比较紧密。如小学数学的基础知识中，质数与合数，整除的特征，最大公约数与最小公倍数，记数法与进位制。而且初等数论又是小学奥数方面的基础理论、中小学数学奥林匹克竞赛的常客。据统计，被誉为“世界青年智能大赛”的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的试题中主要用于数论知识来解的约占 30 ，因此也有人把数论称为是锻炼人思维的体操。初等数论也与高等代数中一元多项式与线性方程相联系，学生可以用类比与较抽象的方法来看初等数论的一些
7、内容，学生在此阶段已学完高等代数利于学习初等数论。小学教育（数学）专业的教学培养目标表明初等数论课程进行参与合作式教学具有重要的现实意义。小学教育专业要培养全程实践、善于学习、高适应的应用型小学教育人才。因此，我们可以用要学的专业课程作为实践、训练教学基本功。初等数论课具有这样的条件来加强学生实践环节，提高小学教育专业学生的授课能力。学生在学本课正好是大学二、三年级，经历了小学的见习多次，学生有一定的较简单的教学基本能力，学生想上讲台有一定的愿望。因此可以在初等数论课进行学生教学方法的跟进训练。 三、参与合作式教学的一些做法（一） 选择合适内容作为参与合作式教学的课题初等数论课程主要研究整数最
8、基本的性质。有些基本内容学生在小学已经学过，本课程是站在理论的高度对已学过的内容进行推理与论证。如最大公约数与最小公倍数，整除的特征在小学时，学生就知道一些结论。其中有些内容，适合参与式活动，在此过程中，教师以学生为主体，扮演学习的引导者、组织者、指导者、帮助者的角色，改变教师传统教的讲授方式和学生传统学的方式，学生通过合作探究、构建，然后转化为自己的行动，又通过上讲台讲课，变为自己的知识。（二）划分课题学习小组把班级同学分成几组，由班长与学习委员一起确定组长。形成一个学习、研究团队，不同能力的学生进行组合匹配。根据本班的人数分组，如 11级免师班分 3组、小教 3班分为 4组，小教 4班分为
9、 5组。（三） 参与合作式教学实施方式方式一，由老师给出教学任务，2 节内容，学生把老师的课件复制好。全班各小组要合作探究，进行有效的合作学习。小组集体研究备课，确定推荐一位同学或两位同学讲一节或二节，课堂时间汇报合作探究的学习成果，几个小组轮换进行。方式二，由老师给出教学任务，2 节内容，对课题的内容和特点，教师建议学生合作的教学，学生把老师的课件复制好。全班各小组要合作探究，进行有效合作学习，小组集体研究备课，小组的每位同学参与上课，如一个定义，一个定理，例 1，2，3.可分别由 5人同学讲。方式三，学生对教学内容选出要讲的课题，其它同方式一。方式四，师生共同上台分别讲，其它同方式一.方式
10、五，师生同时在台上讲，学生为主，教师为辅。1.应当注意的事项对不同的课题采用不同的方式，实施过程中教师适时点拨，分层教学，因材施教。个别辅导，面向全体学生。开始时，不求完美，如把自己是怎样理解学习这一知识的讲出来，讲自己的思维过程，解题方法，把自己的学习过程告诉同学。课间，同学提问，共同答疑。如指出错误，一起解决。要求另外的同学指出错误，同学有疑问不能解决由教师点拨。通过试错学习，往往还达到意想不到的效果。由于学生平时在课堂外的学习时间少，大部分希望在课堂内学习。因此，实施在课堂内小组合作学习。比如 30分种或 15分钟的时间学习后，再备一次课。老师参与在其中，教师可在学生学习中解惑。后面的
11、15或 30分钟由学生讲。教师点评，学生的成功出，闪光点，还需改进的地方。比如点拨学生在讲同余的概念时，第一，故名思义，通常说的正整数，余数相同，但这里是整数，如对于两个负数的情形同余怎样理解。第二，模为正整数。第三，创设现实的问题情境。学生在讲同余的概念，采用直接呈现同余的概念，没有创设好问题情境。老师启发学生提出这样的问题：今天是星期一再过32天是星期几，再过39天是星期几，再过109天是星期几。参与合作式教学坚持新的教师观和学生观，教师作为课堂的学习的组织者、倡导者、合作者。但教师还要造时启发学生、点拨学生。这样既突出了学生的主导性，又发挥教师了的主导作用。2.方式一案例在学习“数的进位
12、制”一节内容（包括十进制数、k 进制数、不同进制数的互化）时，教师给定由一小组，让每组同学讨论本节课应掌握的知识点。 （此阶段利用课余时间进行） 通过研究同学们认为本节应掌握的知识点有：（1）十进制数的表示形式； k进制数的表示形式；二者有何关系；（2）十进制数化为 k进制数的方法；k 进制数化为十进制数的方法；（3）k 进制小数化成十进制分数的方法；十进制分数化成 k进制小数的方法；（4）k进制数的加减乘除运算方法（5）本单元知识的综合应用。由小组一或二个同学来讲。或者5个同学分别讲一个知识点。针对同学们找出的本节应掌握的知识点，教师给以充分的肯定并加以指导。对学生的讲解进行点拨。如k进制的
13、加减运算，同学讲的先把k进制化为十进制，按十进制的运算方法得运算结果，再把结果化为k进制。教师启发学生十进制数的加法逢十进一，类比联想k进制加法逢k进一。然后分析这个法则的本质，得出k进制数直接进行加减运算的方法。小组指派一人或二人汇报本组合作与探究学习的成果，讲解学习过程中遇到的疑难问题。讲解了k进制数加减运算的两种方法、把十进制数化成k进制数的方法；介绍了综合除法的原理，讲述了二进制在八卦和计算机中的应用，开阔了同学们的视野。3.方式二案例初等数论课中的部分内容，如整除、素数与合数、奇数与偶数、同余等概念，在其他课程中已有涉及，只是没有初等数论中讲得详细、系统，因而学生已有了一定的了解。对
14、于这部分内容我们采取让学生讲、分组讨论，由学生对这节课教学内容、教学方法进行评论，提出自己的建议，并对如何上这节课进行阐述，最后由老师进行总结、点拨。 四、参与合作式教学的一些活动成果（一）在合作学习中由不同的章之间的联系寻求不同解法教材第一章（整除理论） 、第三章（同余方程）和第四章（不定方程）许多内容是相互联系的，可以借助他们的联系寻求不同解法。例如，解一元一次同余方程，同余变形法，书上是右边变形，我们用左边变形。例如，解由两个一元一次同余方程组成的方程组。学生在讲课时，用的教材上的解法。老师启发一下，是否有另外的解法，比教材上的方法简单。同学就一起探讨，找到了教材上没有的较简单的解法。并
15、给出一般性的证明。例如“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二 ，问物几何？ 用列同余方程组，结合孙子定理来解，也可用列不定方程组来解。学习二元一次不定方程时，在课堂上，一个学生在讲其解法后，在老师启发下，有同学探究了它与一元一次同余方程的等价关系，这是教材里没有的内容，有的学生找到了用解同余方程的同余变形法来解。总之，同一问题不同解法的题目很多，通过合作学习探究题目的多种解法，认识数学的系统性，严谨性。可以促使学生从不同角度看问题，养成动脑思考的好习惯，培养学生思维的广阔性、灵活性。（二）学生敢于怀疑教材，发现教材中的错误教材是学生学习的主要用书，但不是学习
16、的唯一凭借，有的教材也不乏错误之处。使用的初等数论教材是教育部推荐的大学本科小学教育专业教材，但也存在一些错误和定理不够严密的问题，可充分利用这一情况，开展参与式合作学习活动，对教材中的每一个定理内容及每一道例题的解法给以认真的研究，加深对知识的理解。如果发现不当之处，同学一起可查阅有关资料，获得正确的结论。教材 P68有两处错误，顺数第 10行，中的 a应改为 b，倒数第 4、5 行，字母 n混淆了。P154， （8，11）1 应改为（4，11）1，P76，4 题（1）题中 42368应改为 42364有好几处的自然数应改为正整数，如定理 2.3.3中的 “自然数 h”改为 “正整数h” ， “所有自然数 x”应改为“所有正整数 x”。（三）学生在小组合作中学习相关的数学史初等数论中有较多的数学史的素材，如哥德巴猜想，费尔马数、梅森数、完全数，费尔马大定理，孙子定理，商高不定方程。小组的同学通过查阅大量资料，收集了与之相关的数学史料。关于解同余式组的问题, 在我国古代有极光辉的研究成果.
