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1、1新概念几何与共边定理的问与答广州 杜厚生(与现行教材上面积相等的表达式不同，本文用 APBAQB 表示两个三角形面积相等，三角形符号前省略“S” 或“面积”这是为了表达上的简洁)问：那些人适合阅读和应用本文？答：主要是初中数学教师和初三备考的学生，初二学生也可以尝试应用当然，高中数学教师也应当有所了解，高中生也可以读一读，但最适合的读者，是准备参加初中数学竞赛的同学问：张景中是谁？答：张景中者，自欧几里德已降，2300 多年来独力改写欧几里德几何体系的第一人新体系者，新概念几何也张景中，1936 年生于河南汝阳，18 岁入北大数学系，22 岁打成右派，从此沦为另类 21 年，至 1979年
2、43 岁时才平反，恢复普通公民身份此后便文思泉涌，17 年间，成就辉煌，跻身顶级数学家之列，数项成果均堪称里程碑，成为大学教授、博士生导师、中科院院士，杰出科普作家问：什么是“新概念几何”？答：平面几何问题一直是数学教育与学习中的疑难问题，两千年来，学生的课本还是和欧几里德时代无甚大异，教师只有在增加学习时间，减少所学内容上做文章然而张景中院士大胆指出，我们其实不必非要虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何！他经过多年潜心研究，独辟蹊径，建立起一套以度量为基础，以面积为中心的平面几何新方法、新体系，这就是“新概念几何” （下文简称新几何） 从 1989 年以来，经过 20 年来张院士和很多中学老师
3、的教学实践证明， “面积法”可节省课时，提高学生解决问题的能力，特别是在解决数学奥林匹克竞赛问题时的优势相当明显“新概念几何”相对于欧几里德的几何是一个全新的平面几何新体系，从公理体系到定理体系、解题方法，都有极大的区别，也是欧几里德的几何诞生 2300 多年来，第一个全新的体系在张景中的新几何中，甚至没有平行公理，即平行线的存在性和唯一性是可以由面积方法推导出来的一个定理也不需要全等三角形和相似三角形等一批定理由于新几何定理大大减少、解题方法统一为面积方法，给平面几何减少课时和降低难度创造了条件新几何中使用的解题通法消点法，甚至成为了攻克世界性的科研难题机器证明几何定理的关键方法，取得了机器
4、证明几何定理的里程碑式的胜利新几何正是由于方法之新、对传统几何改造之彻底，反而造成了推广之难对广大中学教师来说，几乎是一门新学科，老师和学生在知识上同样的一无所2BP QA基本定理：ABPABQPAAQ知！但老师应当先学一步，比学生更早掌握新几何，为教材、课程改革作出应有的贡献一旦国家决定采用新几何代替旧教材，老师就可以充满信心地走上讲台退一步来看，掌握新几何的面积方法和部分新定理却并不难，但对于现行教材是一个补充和改进，对个人教学能力的提高也极有补益问：新几何的核心是什么？答：新几何以度量为基础，以面积为中心，它的核心定理就是现行教材中一条极为平凡的定理：“等高三角形面积的比等于底边的比”
5、由这个核心定理推导出一条现行教材中没有的定理共边比例定理，这是整套新几何教材的基础，由该定理导出全部定理与解题方法，构成了几何新体系从一条极为平凡的定理着手，改写几何原本的整个体系，构造出一个几何新体系，这件事本身就透出神奇历史上堪与之相比的，只有 180 年前对平行公设的研究了当年也是从一条公设出发，构造出一个非欧几何但毕竟同时有高斯、小鲍耶、罗巴切夫斯基各自独立发现了非欧几何此外，对平行公设的质疑，之前已经有过千年探讨，远不是如“等高三角形面积的比等于底边的比”那样平凡而不引人注意在论推广(见数学通报 2005 年第 4 期) 一文中，张景中教授说：“几何原本共 13 卷，包含了 465
6、条命题有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里得时代数学家的注意和重视(之后的两千多年中也没有得到应有的重视) 如果当初欧几里得或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写，几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了这是几何原本第 6 卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比”共边定理和基本命题的共同点，都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比共边定理中若 A 在直线PQ 上，就回到了基本命题所以，它是基本命题的推广基本命题图中的线段 PQ，AB 的位置变得更一般些，使 A 不在直线 PQ 上，再添上交点 M,就成了共边定理的图形了这一点改变很重要欧几里得
7、时代的几何学家，就是没有注意到这一点改变，才失去了这条无比重要的共边定理，也错过了发现平面几何机械化解题方法的机会为什么强调面积？张景中这样看面积方法的重要性：利用面积，我们可以建立面积坐标，自然地进入解析几何而面积坐标，本质上已经包含了笛卡尔坐标、仿射坐标、射影坐标，这就为学习更高深的几何埋下了伏笔学会了计算多边形和圆的面积，自然会想到去计算曲线包围的面积，这就会引出极限概念，引出定积分概念，自然而然地就把学生带进了高等数学的3大门此外，微积分里用得最多的三角函数与对数函数(指数函数) ，都可以用面积给出易于理解又便于推导的定义在高等数学中，面积以各种形式出现面积是积分，是测度，是外微分形式
8、，是向量的外积，也是行列式抓住面积，从小学到大学的数学内容就可以一线相串抓住面积，结合代数与三角来展开初等几何，就极有希望提供一种足以和欧几里德体系争夺课堂的几何教材 （张景中：从数学教育到教育数学P81）为什么共边定理是基石？从下面的新概念几何体系的课程结构图可以看出，共边定理是新概念几何整个体系的基石 （张景中：从数学教育到教育数学P101）问：什么是共边比例定理？答：共边比例定理简称共边定理：有公共边 AB 的两个三角形的顶点分别是 P、Q，AB 与 PQ 的连线交于点 M，则有以下比例式成立：APB 面积AQB 面积PMQMAAAABBBBP P PPQMMMM共边定理图：四种位置关系
9、QQ Q余弦定义共边定理与共角定理 正弦定义平行公理 面积公式ABC absinC12圆的定义公理系统基本命题圆周角定理 内角和定理 余弦定理 正弦加法定理 正弦定理 张角公式各种三角公式全等三角形与相似三角形判定圆内外的角弦长公式圆幂定理4问：什么是共角比例定理？答：共角比例定理简称共角定理：有公共角的两个三角形的面积比等于夹这个角的两边的乘积之比ABC 和A B C 中，A 与A 相等或互补，则有：11ABC 面积A B C 面积ABAC A B A C11问：怎么导出两个定理？答：共边三角形有四种位置图形，证明时，都只需要在直线 AB 上作线段 MNAB，则有：ABPABQ PMNQMN
10、PMMQ共角定理更简单，ABC 面积 A B C 面积1 ABACsinA A B A C sinA 12121A 与A 相等或互补 sinAsinA1 1ABC 面积A B C 面积ABAC A B A C1 1问：共边定理与共角定理怎么用？答：共边三角形与共角三角形广泛存在张景中说：欧几里德把注意力集中在特殊三角形上：当考虑一个三角形时，着重研究了直角三角形和等腰三角形；当考虑一对三角形时，着重研究了全等三角形和相似三角形一个重要的事实是：随便画一个几何图形，这里面往往没有全等三角形和相似三角形，为了使“全等” 、 “相似”有用武之地，就要作辅助线但如何作辅助线，则“法无定法” 几何做题难
11、，原因与此有关我们着眼于那些任何几何图形都会出现的三角形对，这就是“共边三角形”与“共角三角形” 这两种三角形是名不见经传的，欧几里德以来的几何学家们从来没有给它们足够的重视但是，从数学教育学的角度来看，他们是顶顶重要的(张景中：从数学教育到教育数学P60)共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤：两直线 AB、PQ， 交于一点 M要确定交点 M 的位置，本是一件不容易的事，它相当于解二元一次方程组而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出 M 在线段 PQ 上的位置等式右边的 M，在左边不出现了，也就是被消去了这个事实，在几何问题的机器求解中起了关键的作用（张景中：论推广 ）张景中说，使
12、用共边定理和共角定理有两个好处：P Q A M B N 共边定理证明5其一是通用性从统计学观点看，任给几个点连成直线，出现一对全等三角形或一对相似三角形的机会太少了，概率为零所以想利用“全等” 、 “相似”来解题，就常常要挖空心思作辅助线，凑出全等三角形或相似三角形来而作辅助线的规律不好掌握，学生会觉得无章可循，非常困难但共边三角形和共角三角形却比比皆是，因此它们的性质到处都用得上其二是条件和结论的对等性要证明两条线段相等，常用的办法之一是构造一对全等三角形，使这两条线段成为它们的对应边但要证明这两个三角形全等，却要满足三个条件这就是说，为了得到一个等式，先要建立 3 个等式这就有点不合算了而在共边定理和共角定理中，却是从一个条件到一个结论这种对等性往往能够简化证明的过程其三是基础的单纯性和表述的简明性共边定理和共角定理，直接建立在小学生已经熟悉的三角形面积公式的一个简单推论上，学起来简单，也容易记得牢而全等三角形或相似三角形的理论，推导过程较长，判定条件又多，在可接受性方面较差
