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1、海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知全集 集合，则=（A）（B）（C）（D） （2）已知复数在复平面上对应的点为，则（A）是实数 （B）是纯虚数（C）是实数 （D）是纯虚数（3）已知，则（A）（B）（C）（D）（4）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（A）（B）（C）（D）（5）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）关于函数，下列说法错误的是（A
2、）是奇函数（B）不是的极值点（C）在上有且仅有个零点（D）的值域是 （7） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（A）求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和（B）求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和（C）求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和（D）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和（8）已知集合，集合满足 每个集合都恰有个元素 集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则的值不可能为（）（A）（B）（C）（D）第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）极坐标系中，点到直线的距离为_.
3、（10）在的二项展开式中，的系数为 .（11）已知平面向量，的夹角为，且满足，则 ， .（12）在中，则 .（13）能够使得命题“曲线上存在四个点，满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为 .（14）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为_.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）（本小题13分）如图，已知函数在一个周期内的图象经过，三点（）写出，的值； （）若，且，求的值16. （本小题共13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分
4、作为该名学生的考核成绩记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992 ()从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率；()从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；()记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为，考核成绩的平均数和方差分别为，试比较与，与的大小. （只需写出结论）17. （本小题共14分）如图，在三棱柱中，平面，分别是，的中点（）证明：（）证明：平面； （）求与
5、平面所成角的正弦值.18. （本小题共14分）已知椭圆：，为右焦点，圆：，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在两侧.（）求椭圆的焦距及离心率;（）求四边形面积的最大值.19.（本小题共13分）已知函数（）（）求的极值；（）当时，设.求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.20.（本小题共13分）如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.（）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；（）若数列具有“性质P”，求证：且；（）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由海
6、淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数 学（理科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项12345678BCDBACCA第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分（9）1（10）10（11）1；（12）（13）答案不唯一，或的任意实数（14）三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）（本小题13分）解：（），7分（）由（）得，因为，所以8分因为 ，所以9分所以，11分所以，12分所以13分16. （本小题共13分）解：（）这10名学
7、生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.1分 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：，3分从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.4分（）设事件：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分.5分 由（）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.6分所以，.9分（），.13分17. （本小题共1
8、4分）解：（）因为平面，平面， 所以1分因为，平面，所以平面3分因为平面，所以4分（）法一：取的中点，连接、 因为、分别是、的中点，AC1A1CB1BDEM 所以ME，且ME5分 在三棱柱中，且，所以MEAD，且ME=AD，所以四边形ADEM是平行四边形，6分所以DEAM7分又平面，平面，AC1A1CB1BDEM所以平面9分注：与此法类似，还可取AB的中点M，连接MD、MB1法二：取AB的中点，连接、 因为D、分别是AC、AB的中点，所以MDBC，且MDBC5分 在三棱柱中，且，所以MDB1E，且MD=B1E，所以四边形B1E DM是平行四边形，6分所以DEMB17分又平面，平面，所以平面9分
9、法三：取的中点，连接、 因为、分别是、的中点，所以，5分 在三棱柱中，AC1A1CB1BDEM 因为、分别是和的中点，所以，所以，四边形是平行四边形，6分所以，7分 又因为， ,平面MDE，BB1,平面，所以，平面平面8分因为，平面，所以，平面9分（）在三棱柱中， 因为，所以在平面内，过点作，因为，平面，所以，平面10分建立空间直角坐标系C-xyz，如图则,.，11分设平面的法向量为，则，即，得，令，得，故12分设直线DE与平面所成的角为，则sin，所以直线与平面所成角的正弦值为.14分18. （本小题共14分）解：（）在椭圆：中，所以，2分故椭圆的焦距为，3分离心率5分（）法一：设（，），则
10、，故6分 所以，所以，8分9分又，故10分因此11分由，得，即，所以，13分当且仅当，即，时等号成立.14分（）法二：设（），6分 则，所以，8分9分又，故10分因此11分，13分当且仅当时，即，时等号成立14分19.（本小题共13分）解：（）法一：，1分令，得2分 当时，与符号相同， 当变化时，的变化情况如下表：极小4分 当时，与符号相反， 当变化时，的变化情况如下表：极小6分综上，在处取得极小值.7分法二：，1分令，得2分令，则，3分易知，故是上的增函数，即是上的增函数4分 所以，当变化时，的变化情况如下表：极小6分因此，在处取得极小值.7分（），8分故9分 注意到， 所以，使得 因此，曲
11、线在点，处的切线斜率均为. 11分下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.法一：曲线在点（）处的切线方程为，即假设曲线在点（）处的切线重合，则12分法二：假设曲线在点(，)处的切线重合，则，整理得：12分 法一：由，得，则 因为，故由可得而，于是有，矛盾！法二：令，则，且.由（）知，当时，故所以，在区间上单调递减，于是有，矛盾！因此，曲线在点()处的切线不重合13分20.（本小题13分） 解：（）若，公差，则数列不具有性质1分理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，3分（）若数列具有“性质P”，则 假设，则对任意的，. 设，则，矛盾！4分 假设，则存在
12、正整数，使得设，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！6分 假设，则存在正整数，使得设，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！8分 综上，（）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数， 这与数列具有“性质P”矛盾，故 设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设 ， 则，因为，所以，即数列的每一项均是整数由（）知，故数列的每一项均是自然数，且是正整数 由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则，即 因为，故是的约数 所以，, 当时，得，故，共2019种可能； 当时，得，故，共1010种可能； 当时，得，故，共3种可能； 当时，得，故，共2种可能；当时，得，故，共2种可能；
