线性代数讲义-03线性方程组

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1、30第三章 线性方程组第一节 线性方程组与矩阵的行等价一 线性方程组以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.定义 3.1 多元一次方程组 称为线性方程组. mnmnbxaxa 21 222 121方程组有 个方程, 个未知数 ( ), 而 ( ; )是mni, ij1,n mj,21未知数的系数, ( )是常数项. jb,2如果 ( ), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.0j,1数组 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数 , nc,21 nx,21可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通

2、解, 称方程组的一个解为特解. 定义 3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解. 按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解. 例 3.1 解线性方程组 .5241331x解 从上向下消元, 得同解方程组 . 这种方程组称为阶梯形方程组. 1234x从下向上消元, 得同解方程组 . 3102x再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解 , , .2/31x5x3解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程

3、中常用三种运算.定义 3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零常数乘以一个方程;(3) 将一个方程的 倍加到另一个方程上去.k注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.31定理 3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解. 证 先证明只进行一次初等变换. 首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也

4、是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解. 最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解. 二 矩阵的行等价用矩阵乘法, 可以将线性方程组 写作mnmnbxaxa 21 222 121,121212nmmnaax mb2称为线性方程组的矩阵表示. 其中 矩阵 称为方程组的系数矩阵, 列矩阵)(ijA1n称为未知数(矩阵), 列矩阵 称为常数(矩阵). 此时, ),(21nxx ),21线性方程组可以简写作 . bA如果数组 是线性方程组 的解, 令列矩阵 , 则有矩阵nc,21 bx12,)nc等式 . 列矩阵 是方程组的解的矩阵表示. Ab12(,)nc将常

5、数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵 , 称为线性方程组的(bA增广矩阵. 线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念. 定义 3.4 设 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵 的行初等变换.(1) 交换 的两行;A(2) 用非零常数 乘以 的一行;k(3) 将 的一行的 倍加到另一行上去.定义 3.5 如果通过行初等变换 , 可以将矩阵 变成矩阵 , 则称矩阵 与 行等价. 记ABAB作 .Br 仿照定理 3.1 的证明, 可以得到下面的结果. 性质 3.1 行等价是一种等价关系,

6、即具有下述性质.(1) 反身性: ;Ar(2) 对称性: 如果 , 则 ;B r (3) 传递性: 如果 , , 则 .r C Ar当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为 . 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号 . BAr 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理 3.1 写作:32定理 3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解. 通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是 0, 则

7、称为零行, 否则称为非零行. 定义 3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1) 非零行在上, 零行在下;(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方. 例 3.2 用行初等变换化简矩阵 .52143A解 做行初等变换, 得.52143A 340r 31042r经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得. 3104r 31028r 3102r最后, 每行除以其首元素, 得. 3102rA 3105/r定义 3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1) 每个非零行的首元素等于 1;(2) 包含首元素的列的其它元素都是 0.在例 3.2 中,

8、最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.定理 3.3 对于任意矩阵 , 存在一个行最简阵 , 使得 与 行等价. ARA如果矩阵 与行阶梯形阵 行等价，则称 是 的行阶梯形阵. 如果 与行最简阵 行等R R价, 则称 为矩阵 的行等价标准形. R其实, 例 3.2 中的矩阵就是例 3.1 中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决. 习题 3-11. 写出线性方程组 的系数矩阵与增广矩阵, 并用消

9、元法求解.012354431321xx332. 设线性方程组的增广矩阵为 , 写出该线性方程组, 并用消元法168355421求解.3. 求下列矩阵的行等价标准形.（1） ; (2) ;02134023471(3) ; (4) . 512320420387434. 求 的值, 使得矩阵 的行等价标准形恰有两个非零行. t t212513第二节 矩阵的秩一 矩阵的秩的定义定义 3.8 设矩阵 , 从 中任意选取 行, 列( ), 位于这些行nmijaA)(Ak,min与列的交叉点上的 个元素按照原来的相对位置构成的 阶行列式称为 的一个 阶子式. 2k Ak例如, 位于矩阵 的第一,三行, 第二

10、，四列的二阶子式为3120974.132一个 矩阵有 个 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而 阶方阵nmknmC n的行列式是它的唯一的 阶子式. 定义 3.9 如果矩阵 中有一个 阶子式不等于零, 而所有 阶子式都等于零, nijaA)(r1r则称矩阵 的秩等于 . 记作 .r如果矩阵的所有 阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的1子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数. 约定 对于零矩阵 , 约定 .O0)rak(由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:(1) 设 是非零矩阵, 则 ; A1nA34(2) 设 是 矩阵

11、, 则 ;Anm,min)rak(A(3) 阶方阵 可逆的充分必要条件为 . 于是, 可逆阵又称为满秩阵.)r(例 3.3 设 , 求它的秩. 064213解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, .2)rank(A例 3.4 求对角阵 的秩.),diag(21nA解 由不等于 0 的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于 0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于 0 的主对角线元素的个数. 例 3.5 设矩阵 的秩等于 , 从 删除一行得到矩阵 , 问 的秩可能取哪些值? 如rAB果给 添加一行呢?A解 因为矩阵 的子式也是矩阵 的子

12、式, 所以 的秩不大于 的秩.BA已知 , 不妨设 的 阶子式 不等于 0. 如果 也是 的子式, 则r)rank( DD. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在 的未被删除的 行中, 至少有一个1r阶子式不等于 0. 于是 . 11)ank(r仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于 , 或者 . r性质 3.2 设 是矩阵, 是数, 则A(1) 转置: ;)ra()r(2) 数乘: 如果 , 则 . 0k)rank(A证 只证(2). 考虑矩阵 的一个 阶子式 , 根据矩阵的性质 2.6, 矩阵 的相应的子式等于 . ssDkAsDk已知 , 因此 的充分必要条件为 . 0k 0s设 ,

13、 则 有一个 阶子式不等于 0, 而所有 阶子式都等于 0. 根据前面的rA)ran(r1r分析, 矩阵 具有相同的性质. 因此, . kA)an(二 行初等变换用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大. 定理 3.4 设矩阵 与 行等价, 则 .ABrank()r()AB证 设一次行初等变换将矩阵 变成矩阵 ，且 , 则 的所有 阶子式都raA1r等于 0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵 的所有 阶子式也都等于 0. 1(1) 矩阵 的一行乘以非零常数 . 此时 的一个 阶子式或者就是 的相同位置的阶子式, 或者是 的相同位置的 阶子式的一行乘以非零常数 . 于是, 的

14、所有1r rkB阶子式都等于 0.(2) 交换矩阵 的两行. 考虑 的一个 阶子式 , 则 有一个 阶子式与 的差ABD1rD别至多是行的顺序不同. 于是, 的所有 阶子式都等于 0.1(3) 将 的第 行的 倍加到第 行. 如果 的一个 阶子式不包含 的第 行, 它就jki1rAi是 的相同位置的 子式. 如果 的一个 阶子式 包含 的第 行, 用行列式的性质, 1rri这个子式可以分解为 , 其中 就是 的相同位置的 子式. 如果 不包含 的第2D1A35行, 则 可以由 的某个 阶子式经交换行得到. 如果 包含 的第 行, 则 有两个j2DA1rDAj2D相同的行. 于是, 的所有 阶子

15、式都等于 0. B总之, . )ank()rank(另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵 变成矩阵 . 从而还B有 . 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有 . rank()r()最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.推论 3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.证 设矩阵 的行等价标准形 中恰有 个非零行, 则所有 阶子式都等于 0. 另一方ARr1r面, 它的非零行的首元素所在的列的前 行构成 阶单位阵 . 于是 . 根据定理 3.4, rR)ank(有 . r)rank(例 3.6 求矩阵 的秩. 79311825解 用行初等变换, 得 .79311825A r 8140725 r 00472151矩阵 的行阶梯