线性代数基础和常考知识点

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1、宇航学院学习部整理0线性代数基础知识点(),nTArnxxAAAE可 逆 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 无 关 的 特 征 值 全 不 为 0 只 有 零 解 ， 0总 有 唯 一 解是 正 定 矩 阵 R12,sipnBEAB 是 初 等 阵存 在 阶 矩 阵 使 得 或：全体 维实向量构成的集合 叫做 维向量空间.注 nR()ArnxA不 可 逆 0的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 相 关 是 的 特 征 值 有 非 零 解 ,其 基 础 解 系 即 为 关 于 0的 特 征 向 量注()abrEAnaEbAx 有 非 零 解=- :具 有向 量 组 等 价矩 阵 等 价 ()反

2、身 性 、 对 称 性 、 传 递 性矩 阵 相 似矩 阵 合 同 关于 ：12,ne称为 的标准基， 中的自然基，单位坐标向量 ；:n:87p教 材 线性无关；12,ne ； ；tr=E任意一个 维向量都可以用 线性表示.n12,ne宇航学院学习部整理1行列式的定义 121212121()12 nnnnjn jjjnnaaDa 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若 都是方阵（不必同阶）,则 （拉普拉斯展开式）AB与 =()mnAOABB1上

3、三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线： （即：所有(1)21122 111 nnnnnnaOaaa 取自不同行不同列的 个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式： 122112nijjinnnxxx矩阵的定义 由 个数排成的 行 列的表 称为 矩阵.记作：m121212nmmnaaA 或ijmnAa伴随矩阵 ， 为 中各个元素的代数余子式.1212*12nTijnnA ijA 逆矩阵的求法:宇航学院学习部整理2 ： 1A注 1abdbcdca主 换 位副 变 号 1()()E 初 等 行 变 换 1231213aaa 3211123 aaa 方阵的幂的性质： mnA()

4、mnnA 设 的列向量为 , 的列向量为 ，,mnsB12,nB12,s则 ，msAC112212 21, ,sn snnsbbc iAc(,)is12为 的解 可iixc 21212,s ssAA 12,sc由 线性表示.即： 的列向量能由 的列向量线性表示， 为系数矩阵.12,nCB同理： 的行向量能由 的行向量线性表示， 为系数矩阵 .CBT即： 12112212nnmnmaac 12122122nmmnaac 用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量； 左 行用对角矩阵 乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 向量.右 列 两个同阶对角矩

5、阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵：TTABCD分块矩阵的逆矩阵： 11 11ABB1ACAOBB11OOC宇航学院学习部整理3分块对角阵相乘： ,1122,AB12AB12nA分块对角阵的伴随矩阵：*BA*(1)(1)mnmnAABBB 矩阵方程的解法( )：设法化成 0XX(I) 或 (I)AE 初 等 行 变 换(I的 解 法 ： 构 造TTABX)的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整

6、体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 .14p教 材 向量组 中任一向量 都是此向量组的线性组合 .12,ni(1)n 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.n向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.12,n i1 维列向量组 线性相关 ；m,()rAn维列向量组 线性无关 .12n 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法唯12,n 12,n 12,n一. 矩阵的行

7、向量组的秩 列向量组的秩 矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 .行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶0宇航学院学习部整理4梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为 行最简形矩阵0 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 施行一次初等 变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 ；A行 左 A对 施行一次初等 变换得到

8、的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘 .列 右矩阵的秩 如果矩阵 存在不为零的 阶子式，且任意 阶子式均为零，则称矩阵 的秩为 .记作rr1r()rA向量组的秩 向量组 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12,n12(,)nr矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作：ABAB向量组等价 和 可以相互线性表示. 记作：12,n12,n 1212,nn 矩阵 与 等价 ， 可逆 作为向量组等BPQ,(),r AB为 同 型 矩 阵价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 与 作为向量组等价A1212(,)(,)nnrr1212(,)nnr矩阵 与 等价.B 向量组 可由向量组 线性表

9、示 有解12,s12,nAXB12(,)=nr .(,)nsr(,)sr12(,)nr 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.12,s12,ns12,s向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 .s宇航学院学习部整理5 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向12,s12,n 12(,)sr12(,)nr量组等价； p教 材 94,例 10 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设 是 矩阵,若 ， 的行向量线性无关；Amn()rAm若

10、， 的列向量线性无关,即： 线性无关.n12,n 矩阵的秩的性质： ()AOr若 1()0AOr若 ()mnrA min(,)()Trp教 材 10,例 5 rkk若 0 (),() 0mns rABnABr x 若 若 的 列 向 量 全 部 是 的 解 ()ri, 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ()rBA若 可 逆若 可 逆若 ；()()mnxrBr ABOC 只 有 零 解 在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律若 ()()nsrArB 在 矩 阵 乘 法 中 有 右 消 去 律 . 等价标准型.()r rEOEAO若 与 唯 一 的 等 价 ， 称 为 矩 阵 的 rAB()rma

11、x(),AB(,)()rB ()Or (C宇航学院学习部整理61212 12, 0, (),Ann AnAxnxAxrAx 当 为 方 阵 时当 为 方 阵 时有 无 穷 多 解 表 示 法 不 唯 一线 性 相 关 有 非 零 解 可 由 线 性 表 示 有 解 有 唯 一 组 解 克 莱 姆 法 则表 示 法 唯 一 线12 7(), 1(n xrAxA 教 材 2 讲 义 8性 无 关 只 有 零 解 不 可 由 线 性 表 示 无 解 ：注Ax有 无 穷 多 解 其 导 出 组 有 非 零 解有 唯 一 解 其 导 出 组 只 有 零 解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax 12nxx1

12、211122212,nmmnnmaabAx 12,jjmj1212(,)nx 宇航学院学习部整理7矩阵转置的性质： ()TA()TAB()TkATA()TTAB11()(TA()TTA矩阵可逆的性质： 1111111kk伴随矩阵的性质： 2()n()()nkn*()11()A()kk ()1()10 nrArAn若若若 ABnAkABA（无条件恒成立）E宇航学院学习部整理8线性方程组解的性质：121212121212(),3, ,(4), ,5, ,6kkAxAxAxAx 是 的 解 也 是 它 的 解是 的 解 对 任 意 也 是 它 的 解 齐 次 方 程 组 是 的 解 对 任 意 个 常 数 也 是 它 的 解 是 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解是 的 两 个 解 是 其 导 出 组 的 解 121212 12,(7), ,00kk kxA 是 的 解 则 也 是 它 的 解 是 其 导 出 组 的 解是 的 解 则 也 是 的 解是 的 解 设 为 矩阵,若 一定有解，Amn()rAm()r当 时,一定不是唯一解 ,则该向量组线性相关.方 程 个 数 未 知 数 的 个 数向 量 维 数 向 量 个 数是 的上限.()r和 判断 是 的基础解系的条件：12,s Ax 线性无关；12,s 都