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1、第五章 1二次型与对称矩阵一、二次型及其矩阵1 定义：含有 个变量的二次齐次函数：n22121(,)nfxaxax 13(1)n称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型，令 ，则二次型为：ijia2121121(,)nnfxxax 2 12nnnaxxax,ij令 ， ，12112nnnaaA 12nx则 ，且 为对称矩阵。(,)TfxxA由于对称矩阵 与二次型 是一一对应关系，故称对称矩阵 为二f A次型 的矩阵，也称二次型 为对称矩阵 的二次型， 也称为二f ()R次型 的秩。例 1 设31212321321 975),( xxxxf 第二章 2试求二次型矩阵 .A解 , , , , , .1a
2、23a2512a273a931a于是得，32795A112323957(,)9xfx例 2 已知三阶矩阵 和向量 ,其中X, .2310A321x求二次型 的矩阵.X解 由于 不是对称矩阵,故 不是二次型 的矩阵.因为AAX 3213210),(xx,321212321 46故此二次型的矩阵为.23二、线性变换1 标准形定义：形如 的二次型称为二次型的标准形。221nxdxd显然：其矩阵为对角阵。2 线性变换第二章 3定义： 关系式 称为由变量 到变量11212212nnnnxcycy 12,nx的一个线性变量替换，简称线性变换。12,y矩阵 称为线性变换的矩阵。12121nnnccC 记 ，
3、 ，则线性变换可用矩阵形式表示为：2nx2ny xCy若 ，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换） ，否则，0C称为降秩（线性）变换（或退化变换） 。，其中12(,)()TTTTnCyAyfx Cyx B，TBA而 ()TB若线性变换是非退化的，便有： 1yCx三、矩阵的合同1 定义：设 ， 为 阶方阵，如果存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，ABnnTCAB则称矩阵 与 合同。容易知道：二次型 的矩阵 与经过非退化线性变换 得到()TfxAxy的矩阵 是合同的。C2 合同的性质第二章 4 反身性：任一方阵 都与它自己合同A 对称性：如果方阵 与 合同，那么 也与 合同BA 传递性：如果方阵 与
4、 合同， 与 合同，那么 与 合同CC3 定理：若矩阵 与 合同，则 与 等价，且 。()RB4 定理：任何一个实对称矩阵 都合同于一个对角阵 （ 是以 的 个特n征根为对角元的对角阵） 。即存在可逆矩阵 ，使得 。TA化二次型为标准形一、正交变换法定理：任给二次型 ，总有正交变换 使 化12(,)TnfxxA xCyf为标准形： （其中 是对称2n 12,n矩阵 的特征根）A例：求一个正交变换 ，化二次型xPy为标准形。221313248fxx解：二次型的矩阵为： 2A第二章 5由 ，求得 的特征根为： ， ，0AEA1723特征根 对应的特征向量为： ；171特征根 对应的特征向量为：23
5、232,01显然 与 都正交，但 不正交。123,23与正交化：取 ，21023(,)3541再将 单位化，得123,123211,4550ppp第二章 6于是正交线性变换为：21531342230xy使原二次型化为： 2217fyy注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法对任意一个二次型 ，也可用配方法找到满秩变换12(,)TnfxxA，化二次型 为标准形。xCy1二次型中含有平方项例：化二次型 为标221313132(,)44fxxxx准形，并求出所用的变换矩阵。解 2 2132(,)4()()f33)5xx2221 3()()5x33)令 ，即12233yx1
6、12230yx令 ，则 ，所求的满秩变换为10C01C第二章 7，即 ，xCy1122330xy则原二次型 化为标准形：TfxA2135fyy2二次型中不含平方项例：用配方法化二次型 为标准形，并求出1231232(,)fxx所用的满秩线性变换。解：令 ，则原二次型化为：123xy2113fyy再按前例的方法有：2113fyy22133()令 ，则原二次型化为：1233zy 2213fz其中的满秩变换为两变换的合成，即：由第一次变换 得：123xy1122330xy第二章 8由第二次变换 得：1323zy1122330yz所以有合成的满秩变换为：11 122 233 3001xyz即12233
7、01xz三、初等变换法由于任一二次型 都可以找到满秩线性变换 将()TfxA xCy其化为标准形，即存在可逆矩阵 ，使 为对角阵；由于 可逆，可CT以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵 ，使12,sP。则 ，所以12sCP 21TTsP2sACA 121sEP 表示对实对称矩阵 施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将 化为对角阵，表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为 C第二章 9例：用初等变换法化二次型为标准形，并求出相应的221313248fxxx满秩线性变换。解：二次型 的矩阵：f 42A231102440101rcAE ，32311()(2) 00447621002rrc
8、 c 所以 ，1022C原二次型化为 21347fyy第二章 10惯性定理和二次型的正定性一、惯性定理和规范形在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式： 2221 1pprfdxdxdx 再令线性变换： ，则原二次型化为：(,),iijyrjn 22211prfyy 定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：称规范形中正项的个数 称为二次型的正惯性指标，负项个数称为二次型的负惯性指标， 是二次型的秩。rpr注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型 都可以经过满秩变换 化
9、为规范形，TfxAxCy且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵 ，都存在满秩矩阵 ，A使 ，称 为 的110TCA A（合同）规范形。定理：实对称矩阵 与 合同的充分必要条件是 与 有相同的规范形，ABAB其正惯性指标和秩相等。矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵; 第二章 11(3)两个实对称矩阵合同的充要条件 有相同的秩,有相同的正惯性指数.二、二次型的正定性1、正(负)定二次型的概念定义：设实二次型 ，若对任意不全为零12(),)TnfxxA的实数 ，总有 ，则称 为正(负)定二12,0nx 即 (0ff次型，并称对称矩阵 为正(
10、负)定矩阵，记作 。A()定义：若对任意不全为零的实数 ，总有12,nx，则称实二次型为半正(负)定二次型，其矩阵 为半()0Tfx A正(负)定矩阵。2、判定方法定理：若 是 阶实对阵矩阵，则下列命题等价：An（1） 是正定二次型（或 A 是正定矩阵） ；()Tfx（2） 的 个特征值全为正；（3） 的标准形的 个系数全为正；fn（4） 的正惯性指数为 ；（5） 与单位矩阵 合同（或 为 的规范形）;AEA(6) 存在可逆矩阵 ，使得 ;PTP(7) 的各阶顺序主子式均为正，即。11120,0, 0nnaa 定理：若 是 阶实对阵矩阵，则下列命题等价：An（1） 是负定二次型（或 A 是负定
11、矩阵） ；()Tfx第二章 12（2） 的 个特征值全为负；An（3） 的标准形的 个系数全为负；f（4） 的负惯性指数为 ；n（5） 与负单位矩阵 合同（或 为 的规范形）;EA(6) 存在可逆矩阵 ，使得 ;PTP(7) 的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子A式为正，即 。11()0(,2)rrran1、判定实二次型是否正222131133(,) 6fxxxx定。解： ，因 ， ，2136A01212036A所以实二次型 是正定的。f2、设二次型 ，221313132(,) 4fxxtxx试问 为何值时，该二次型是正定的？t解：因二次型的矩阵为： ，为使所给二次型正定， 的各213tAA阶顺序主子式应大于零，从而有：第二章
