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1、江苏省如皋市20182019学年高三第一学期教学质量调研（一）数 学201810一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.cos960的值为_【答案】；【解析】【分析】首先将角化为，之后应用诱导公式化简求值即可得结果.【详解】，故答案是.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题涉及到的知识点有诱导公式，以及特殊角的三角函数值，属于简单题目.2.函数的定义域是_【答案】；【解析】试题分析：因为，所以定义域为考点：函数定义域3.已知直线l1：和l2：平行，则实数a的值为_【答案】；【解析】【分析】首先利用两直线平行时方程中系数所满
2、足的条件，列出对应的等式和不等式，最后求得结果.【详解】当两直线平行时，有，解得，故答案是.【点睛】该题考查的是有关直线平行时，方程的系数所满足的条件，需要注意的是需要将重合的情况排除，属于简单题目.4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点在直线上，则p的值为_【答案】2；【解析】【分析】首先根据抛物线的方程，判断出其焦点所在轴，求得直线与轴的交点坐标，从而得到焦点坐标，进一步求得p的值.【详解】直线与轴的交点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为，即，所以，故答案为2.【点睛】该题考查的是有关抛物线的焦点的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的焦点所在轴，直线与坐标轴的交点，抛物线的焦点坐
3、标，熟练掌握基础直线是解题的关键.5.若实数x，y满足，则xy的最大值为_【答案】【解析】【分析】首先将椭圆的方程化为标准方程，之后应用其参数方程，将用来表示，之后借助于三角函数的最值求得结果.【详解】由得，设，所以，所以其最大值为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关椭圆上的点的坐标运算式的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，正弦的倍角公式，三角函数的最值，正确理解题意是解题的关键.6.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_【答案】3【解析】【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得
4、结果.【详解】函数，可得，所以切线的斜率为，解得，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.7.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】；【解析】【分析】首先画出约束条件对应的可行域，画出直线，上下移动，得出其过点A时取得最大值，联立方程组，求得A点的坐标，代入求得最大值，得到结果.【详解】约束条件对应的可行域如图所示：三角形区域即为所求，画出直线，从图中可以看出，当直线过点A时，目标函数取得最大值，解方程组，得，此时，故答案是.【点睛】该题考查的是有关简单的线性
5、规划问题，在解题的过程中，正确画出其可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式，分三种，线性的即为截距型，分式型即为截距型，平方和型为距离型，正确判断在哪个点处取得最值是关键.8.设向量，均为单位向量，且，则向量，的夹角等于_【答案】；【解析】【分析】首先将变形得，结合三个向量都是单位向量，利用向量数量积的运算性质，两边平方，得到，求得，之后应用向量夹角余弦公式求得结果.【详解】根据向量，均为单位向量，且，所以，两边平方得，所以，所以，又因为向量夹角的取值范围为，所以向量，的夹角为.【点睛】该题考查的是有关向量夹角的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量数量积的运算性质，向量夹角余弦公式，
6、正确应用公式是解题的关键.9.已知圆被直线所截得弦长为，则实数m的值为 _【答案】1或7；【解析】【分析】首先根据圆中的特殊三角形，应用勾股定理，求得弦心距，即圆心到直线的距离，之后应用点到直线的距离公式求得结果.【详解】因为圆的圆心是，半径为3，根据弦长为，所以圆心到直线的距离为，所以，解得或，所以答案是1或7.【点睛】该题考查的是有关圆中的特殊三角形的问题，即弦心距、半弦长和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理，求得弦心距，之后应用点到直线的距离公式建立相应的等量关系式，求得结果.10.已知，则的值为_【答案】【解析】试题分析：，考点：同角间三角函数关系及两角和差的正切公式11.已知奇函数
7、的图象关于直线x1对称，当，时，则函数在3，9上的零点个数是_【答案】5；【解析】【分析】首先作出所给的区间上的函数的图象，之后根据函数的轴对称性以及奇函数的中心对称性，从而求得函数是周期函数，画出所研究的区间上的图象，之后在同一坐标系中画出直线，根据交点的个数即为零点的个数，从而求得结果.【详解】首先作出函数的图象，之后根据函数图象关于直线对称，以及奇函数关于原点对称，从而得到函数是以4为周期的周期函数，作出其在3，9上的图象，之后在同一坐标系中，作出直线，可以发现其一共有5个交点，从而得到函数在相应区间上有5个零点，故答案是5.【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有对
8、数型函数的图象的画法，函数图象的对称性，函数零点个数，数形结合思想的应用，认真审题是解题的关键.12.若函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】首先令分段函数每一段上的函数值小于，之后结合分段函数的定义域以及函数值的大小，求解相应的不等式，得到结果.【详解】令，解得或，因为，所以，因为，所以不用考虑，再令，解得，又因为，所以不可能大于，所以不等式的解集为.【点睛】该题考查的是有关多层函数不等式的问题，涉及到的知识点有分段函数的值域，指数不等式，二次函数的值域等，正确转化式子是解题的关键.13.设a0，b0，a2b2ab，则的取值范围为_【答案】；【解析】【分析】首先根据不等式的性质，得
9、到，之后将所求的式子化为关于的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围.【详解】根据a0，b0，由求得，令，则，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化.14.在ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】首先利用向量的运算法则，将题中所给的条件进行转化，得到，进一步根据向量数量积的运算式以及正弦定理，得到，之 后应用诱导公式以及和角公式将式子化为关于的关系式，之后应用导数研究函数的最值，即可求得结果.【详解】根据D为AB的中点，若，得到，化
10、简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以 ，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.【点睛】该题考查的是有关三角函数值的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的加减运算，向量的数量积的定义式，正弦定理，正切函数的和角公式以及诱导公式，最后应用导数研究函数的最大值，正确应用公式是解题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且， （1）求角B；（2）若ABC的面积为，求b，c【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）首先根据正弦
11、定理得到，利用题的条件，进一步求得，利用余弦定理，求得，结合三角形内角的取值范围，求得其大小；（2）利用三角形面积公式，结合三角形边的关系，最后求得其边长.【详解】（1）在中，由已知得，又因为，所以所以，因为，所以（2），由又因为，所以，【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理，余弦定理解三角形的问题，三角形的面积公式，正确理解题的条件是解题的关键.16.已知ABC是边长为2的等边三角形，CBD是以B为直角顶点的等腰三角形，且点A，D分布在直线BC两侧，点E为BC的中点（1）若，求的值；（2）若点P为等腰直角CBD内一动点（不包含边界），求的取值范围【答案】（1）（
12、2）【解析】【分析】（1）首先根据题意建立适当的平面直角坐标系，根据题中所给的边长的有关条件，得出相应点的坐标，之后应用向量的加法运算法则以及模的坐标公式求得结果.（2）设出点的坐标，将向量的数量积转化为相应的关系式，根据其范围，得到结果.【详解】如图，由已知是边长为2的等边三角形，是以B为直角顶点的等腰三角形，则以B为原点，BC，BD所在直线分别作为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，（1）由，得，所以，所以（2）设，则，则【点睛】该题考查的是有关向量的模以及数量积的范围，在解题的过程中，注意向量的运算公式，模的求解公式，以及数量积的坐标运算式，正确理解题意是解题的关键，注意将向量坐
13、标化的思想.17.如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA、CB围成一个三角形养殖区ACB为了便于管理，在线段AB之间有一观察站点M，M到直线BC，CA的距离分别为8百米、1百米（1）若围成ABC面积为16万平方米，求观察点M到A、B距离之和；（2）当观察点M到A、B距离之和最小时，求围成ABC的面积【答案】（1）（2）25【解析】【分析】（1）首先根据题意，建立合适的平面直角坐标系，设出直线的方程，根据题中所给的三角形的面积，求得，从而得到对应的点的坐标，利用两点间的距离公式求得结果；（2）将AB表示成关于k的函数，利用导数求其最值，从而得到最后的结果.【详解】以C为原点，CA，CB
14、所在直线分别作为x，y轴，建立平面直角坐标系，则设直线，即，则，所以，所以，（1），也即，解得，此时，（2），则则，k0单调递减极小值单调递增所以当时，AB最短，此时的面积为25【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，在解题的过程中，注意其解题的过程是先建立适当的坐标系，之后设出直线的方程，得到对应的点的坐标，利用面积公式得到其等量关系式，再者就是应用导数研究其最值，得到结果.18.已知椭圆T的焦点分别为F1(1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)（1）求椭圆T的标准方程；（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，ABD和ABC的面积分别为S1、S2，求的最大值；（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若MEMF，求证：点M在定圆上【答案】（1）（2）点M在定圆上【解析】【分析】（1）根据题意，先设出椭圆的方程，根据题中所给的条件，建立所满足的等量关系式，求解方程组得结果；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，将三角形的面积用坐标表示，之后应用基本不等式求得最值；（3）分情况讨论，联立方程组，结合圆的
