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1、选修44坐标系与参数方程第2课时不等式证明的基本方法(对应学生用书(理)200202页)考情分析考点新知证明不等式的基本方法了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法.能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式.1. 设a、bR，试比较与的大小解： ()20， .2. 若a、b、cR，且abc1，求的最大值解：(111)2(121212)(abc)3，即的最大值为.3. 设a、b、mR，且，求证：ab.证明：由2，2， 22，即，即MN.5. 用数学归纳法证明不等式(n1，nN*)的过程中，用nk1时左边的代数式减去nk时左边的代数式的结果是A，求代数
2、式A.解：当nk时，左边，nk1时，左边，故左边增加的式子是，即A.1. 不等式证明的常用方法(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式(3) 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换
3、前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”2. 不等式证明的其他方法和技巧(1) 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法(2) 放缩法欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得AC1C2CnB，利用传递性达到证明的目的(3) 数学归纳法备课札记题型1用比较法证明不等式例1求证：a2b2abab1.证明： (a2b2)(abab1)a2b2abab1(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20. a2b2abab1.已知a0，b0，求证：.证
4、明：(证法1) ()0， 原不等式成立(证法2)由于111.又a0，b0，0， .题型2用分析法、综合法证明不等式例2已知x、y、z均为正数，求证：.证明：(证法1：综合法)因为x、y、z都是正数，所以.同理可得，.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.(证法2：分析法)因为x、y、z均为正数，要证.只要证，只要证x2y2z2yzzxxy，只要证(xy)2(yz)2(zx)20，而(xy)2(yz)2(zx)20显然成立，所以原不等式成立已知a0，求证：a2.证明：要证a2，只需证2a，只需证a244a2222，即证2，只需证42，即证a22，此式显然成立 原不等式成立题型3均值不等式与
5、柯西不等式的应用例3求证：.证明： (121212)(a2b2c2)(abc)2， ，即.若实数x、y、z满足x2y3za(a为常数)，求x2y2z2的最小值解： (122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2，即14(x2y2z2)a2， x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2nn2成立证明：(1) 当n5时，2552，结论成立(2) 假设当nk(kN，k5)时，结论成立，即有2kk2，那么当nk1时，左边2k122k2k2(k1)2(k22k1)(k1)2(k1)(k1)(k1)2右边. 也就是说，当nk1时，结论成立 由(1)、(
6、2)可知，不等式 2nn2对nN，n5时恒成立例4求函数y的最大值解：y2()212()2(1x2x)33， y3，当且仅当时取“”号，即当x0时，ymax3.(2011湖南改编)设x、yR，求的最小值解：由柯西不等式，得(12)29. 的最小值为9.1. (2013陕西)已知a、b、m、n均为正数，且ab1，mn2，求(ambn)(bman)的最小值解：利用柯西不等式求解，(ambn)(anbm)()2mn(ab)2212，且仅当mn时取最小值2.2. (2013湖北)设x、y、zR，且满足x2y2z21，x2y3z，求xyz的值解：由柯西不等式可知(x2y3z)214(x2y2z2)(12
7、2232)，因为x2y2z21，所以当且仅当时取等号此时y2x，z3x代入x2y3z得x，即y，z，所以xyz.3. (2013江苏)已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明： 2a3b32ab2a2b(2a32ab2)(a2bb3)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)，又ab0， ab0，ab0，2ab0， (ab)(ab)(2ab)0， 2a3b32ab2a2b0， 2a3b32ab2a2b.4. (2013新课标)设a、b、c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcca；(2) 1.证明：(1) 由a2b22ab，b2c22bc，c2
8、a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2) 因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.1. 已知正数a、b、c满足abc1，求证：(a2)(b2)(c2)27.证明：(a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)3332727(当且仅当abc1时等号成立)2. 已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1) 求m的值；(2) 若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解：(1) f(x2)m|x|0， |x|m， m0，mxm，
9、f(x2)0的解集是1，1，故m1.(2) 由(1)知1，a、b、cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)()29.3. 已知x，y，zR，且xyz1 (1) 若2x23y26z21，求x，y，z的值(2) 若2x23y2tz21恒成立，求正数t的取值范围解：(1) (2x23y26z2)()(xyz)21，当且仅当时取“” 2x3y6z，又 xyz1， x，y，z.(2) (2x23y2tz2)(xyz)21， (2x23y2tz2)min. 2x23y2tz21恒成立， 1. t6.4. (1) 求函数y的最大值； (2) 若函数ya最大值为2，求正数a的值解：(1) ()2(11)(
10、x15x)8, 2. 当且仅当11即x3时，ymax2. (2) (a)22(a24)(x1x)(a24)，由已知(a24)20得a2，又 a0， a2.1. 算术几何平均不等式若a1，a2，anR，n1且nN*，则叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数基本不等式：(nN*，aiR，1in)2. 绝对值三角形不等式若a、b是实数，则|a|b|ab|a|b|.推论1：|a1a2an|a1|a2|an|.推论2：如果a、b、c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立3. 柯西不等式若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.4. 三角不等式设x1、y1、x2、y2R，则.备课札记
