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1、第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知椭圆x2a2+y225=1(a5)的两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则ABF2的周长为()A.10B.20C.241D.441解析:因为|F1F2|=8,所以c=4,故a2-25=4,解得a=41,再由椭圆的定义可求得ABF2的周长.答案:D2.若焦点在x轴上的椭圆x22+y2m=1的离心率为12,则m等于()A.3B.32C.83D.23解析:a=2,c=2-m,ca=2-m2=12,所以2-m=22.又m0,所以
2、m=32.所以选B.答案:B3.已知双曲线的渐近线方程为y=34x,则此双曲线的()A.焦距为10B.实轴与虚轴分别为8和6C.离心率是54或53D.离心率不确定解析:由双曲线的渐近线方程为y=34x,可知ba=34或ab=34.e=ca=a2+b2a=1+ba2=54或53.所以选C.答案:C4.下列曲线中离心率为62的是()A.x22-y24=1B.x24-y22=1C.x24-y26=1D.x24-y210=1解析:在曲线方程x24-y22=1中,a=2,c=4+2=6.所以离心率e=ca=62.答案:B5.已知P为双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)上一点,F1,F2为焦点,若F1P
3、F2=60,则SF1PF2等于()A.3b2B.34abC.33|b2-a2|D.32|a2+b2|解析:|PF1|-|PF2|=2a,且4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2.SF1PF2=12|PF1|PF2|sin 60=3b2.答案:A6.已知抛物线y=ax2的准线方程是y-2=0,则a的值是()A.18B.-18C.8D.-8解析:将抛物线的方程化为标准形式x2=1ay,其准线方程是y=-14a=2,故a=-18.答案:B7.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴
4、上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则C的实轴长为()A.2B.22C.4D.8解析:设双曲线的方程为x2a2-y2a2=1,抛物线的准线为x=-4,且|AB|=43,故可得A(-4,23),B(-4,-23).将点A的坐标代入双曲线方程,得a2=4,故a=2,即双曲线的实轴长为4.答案:C8.已知双曲线x24-y212=1的离心率为e,抛物线x=2py2的焦点为(e,0),则p的值为()A.2B.1C.14D.116解析:依题意得e=2,抛物线方程为y2=12px,故18p=2,得p=116.答案:D9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点为F
5、1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,3)B.(1,3C.(3,+)D.3,+)解析:如图,由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|.|PF1|-|PF2|=2a,|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即|AF2|2a.|OF2|-|OA|=c-a2a,c3a.ca,ac3a,1ca3,即1e3.答案:B10.已知抛物线C的方程为x2=12y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)B.-,-2222,+C.(-,-22
6、)(22,+)D.(-,-2)(2,+)解析:过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为y+13+1=x-0t-0,即4x-ty-t=0.由4x-ty-t=0,x2=12y得2tx2-4x+t=0,=16-42t20,解得t2.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2m-y2m2+4=1的离心率为5,则m的值为.解析:根据双曲线方程的结构形式可知,此双曲线的焦点在x轴上,且a2=m,b2=m2+4,故c2=m2+m+4,于是e2=c2a2=m2+m+4m=(5)2,解得m=2,经检验符合题意.答案:212
7、.直线l:x-y+1=0和椭圆x24+y23=1相交于A,B两点,则弦|AB|=.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由x-y+1=0,x24+y23=1,可得7x2+8x-8=0,所以x1+x2=-87,x1x2=-87,由弦长公式可得|AB|=1+k2|x2-x1|=1+12-872-4-87=247.答案:24713.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析:由焦点弦|AB|=2psin2,得|AB|=2psin245,2p=|AB|12,p=2.答案:214.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,
8、则实数a=.解析:焦点坐标为(1,0),代入直线方程得a=-1.答案:-115.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.解析:由题意得2a=12,ca=32,所以a=6,c=33,b=3,故椭圆G的方程为x236+y29=1.答案:x236+y29=1三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,求该抛物线的方程及其准线方程.解法一设A(x1,y1),B(x2,y2
9、),由题意知直线AB的方程为y=x-p2,与y2=2px联立,得y2-2py-p2=0,y1+y2=2p.由题意知y1+y2=4,p=2.抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.解法二设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2.两式相减,得kAB=y1-y2x1-x2=2py1+y2=p2=1,p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.17.(8分)已知B为线段MN上一点,|MN|=6,|BN|=2,动圆C与MN相切于点B,分别过M,N作圆C的切线,两切线交于点P.求点P的轨迹方程.分析:应用切线长定理进行线段之间的转
10、化,根据圆锥曲线的定义求方程.解:以MN所在的直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示.设MP,NP分别与C相切于D,E两点,则|PM|-|PN|=|MD|-|NE|=|MB|-|BN|=6-2-2=2,且|MN|2.所以点P的轨迹是以M,N为焦点,2a=2,2c=6的双曲线的右支(顶点除外).由a=1,c=3,知b2=8.故点P的轨迹方程为x2-y28=1(x1).18.(9分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点为A(0,1),且它的离心率与双曲线x23-y2=1的离心率互为倒数.(1)求椭圆的方程;(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相
11、交于A,B两点,点M在椭圆上,且满足OM=12OA+32OB,求k的值.解:(1)因为双曲线x23-y2=1的离心率为233,所以椭圆的离心率为32.因为b=1,所以a=2.故椭圆的方程为x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).由y=kx+1,x24+y2=1,得(1+4k2)x2+8kx=0,所以x1+x2=-8k1+4k2,x1x2=0.因为OM=12OA+32OB,所以m=12(x1+3x2),n=12(y1+3y2).因为点M在椭圆上,所以m2+4n2=4,所以14(x1+3x2)2+(y1+3y2)2=14(x12+4y12)+3(x22+4y22)+23x1x2+83y1y2=14(4+12+83y1y2)=4.所以y1y2=0,所以(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=k-8k1+4k2+1=0,即k2=14,所以k=12.此时=(8k)2-4(1+4k2)0=64k2=160,故k的值为12.
