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1、第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明过程为“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”,其中应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证法答案:B2.如果f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+12n(nN+),那么f(n+1)-f(n)等于()A.12n+1B.12n+2C.12n+1+12n+2D.12n+1-12n+2解析:f(n+1)-f(
2、n)=1(n+1)+1+1(n+1)+2+12n+12n+1+12(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+12n+12n+1+12n+2-1n+1+1n+2+12n=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2.答案:D3.如图为某旅游区各景点的分布图,图中一条带箭头的线段表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H不同的旅游路线的条数,这个数是()A.15B.16C.17D.18解析:如果一条一条地去数,由于道路错综复杂,哪些已经算过,哪些没有算过就搞不清楚了,所以我们换一种思路,用分析法试试.要到H点,需从F,E,G点走过来,F,E,G各点又可由哪些点走过来这样一步步倒推
3、,最后归结到A点,然后再反推过去得到如下的计算法:A到B,C,D的路线条数记在B,C,D圆圈内,B,C,D分别到F,E,G的路线条数亦记在F,E,G圆圈内,最后F,E,G内的路线条数之和即为从A到H的路线的总条数,如下图所示.答案:C4.设数列an满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,a1=2,通过求a1,a2,a3猜想an的一个通项公式为()A.n+1B.nC.n+2D.n-1解析:由a1=2可求得a2=3,a3=4,从而可猜想an=n+1.答案:A5.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3
4、n-1,求出S1,S2,S3,猜出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2猜出椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的面积S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案:B6.已知函数f(x)=ax2+3ax+1,若f(x)f(x)对一切x恒成立,则实数a的取值范围是()A.a413B.a0C.0a413D.0af(x),即ax2+3ax+12ax+3a,所以ax2+ax+1-3a0对一切x恒成立.故a=0,1-3a0或a0,0,解得a=0或0a413.故0abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)bc,且a+b
5、+c=0,所以3ca+b+c0,c0.要证b2-ac3a,只需证b2-ac3a2,只需证(a+c)2-ac0,只需证(a-c)(2a+c)0,只需证2a+c0(a0,c0),只需证a+c+(-b-c)0,即证a-b0,显然成立,故选A.答案:A10.四个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位上(如图).第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位这样交替进行下去,那么第2 005次互换座位后,小兔的座位号是()1鼠2猴3兔4猫开始1兔2猫3鼠4猴第一次1猫2兔3猴4鼠第二次1猴2鼠3猫4兔第三次A.1B.2C.3D.4解析:由题意知第1次互换座位后与第5次互换座位后
6、排列顺序一样,所以第2 005次互换座位后小兔在1号座位上.答案:A二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.观察1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,猜想一般规律是.答案:1+3+5+(2n-1)=n212.对于定义在数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.已知f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,则a的取值范围是.解析:由题意,知x2+2ax+1=x无解,即x2+(2a-1)x+1=0无解,所以=(2a-1)2-40,即-12a0,y0,a=x+y,b=xcos2ysi
7、n2,则a与b的大小关系为.解析:x0,y0,xx+y,yx+y.xcos2(x+y)cos2,ysin2(x+y)sin2(等号不能同时取到).b=xcos2ysin2b15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.解析:由题中数
8、据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)-12n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11102-1010=1 000.答案:1 000三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)先解答(1),再通过结构类比解答(2).(1)求证:tanx+4=1+tanx1-tanx;(2)设xR,a为非零常数,且f(x+a)=1+f(x)1-f(x),试问:f(x)是周期函数吗?请证明你的结论.(1
9、)证明tanx+4=tanx+tan41-tanxtan4=1+tanx1-tanx,即tanx+4=1+tanx1-tanx.(2)解:猜想f(x)是以4a为周期的周期函数.证明过程如下:f(x+2a)=f(x+a)+a=1+f(x+a)1-f(x+a)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x),f(x+4a)=f(x+2a)+2a=-1f(x+2a)=f(x).f(x)是以4a为周期的周期函数.故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.17.(8分)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN+.(1)证明:数列ann是等差数列;(2)
10、设bn=3nan,求数列bn的前n项和Sn.(1)证明由已知可得an+1n+1=ann+1,即an+1n+1-ann=1.所以数列ann是以a11=1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)得ann=1+(n-1)1=n,所以an=n2.从而bn=n3n.Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1.-,得-2Sn=31+32+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1=(1-2n)3n+1-32,所以Sn=(2n-1)3n+1+34.18.(9分)设函数f(x)=ax+1x+b(a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方
11、程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解:f(x)=a-1(x+b)2,于是2a+12+b=3,a-1(2+b)2=0.解得a=1,b=-1或a=94,b=-83.因为a,bZ,所以a=1,b=-1满足题意.所以f(x)=x+1x-1.(2)证明已知函数y1=x,y2=1x都是奇函数,所以函数g(x)=x+1x也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形,而由f(x)=x-1+1x-1+1可知,函数g(x)的图
12、象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度即得到函数f(x)的图象.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明在曲线y=f(x)上任取一点x0,x0+1x0-1.由f(x0)=1-1(x0-1)2知,过此点的切线方程为y-x02-x0+1x0-1=1-1(x0-1)2(x-x0).令x=1,得y=x0+1x0-1,切线与直线x=1的交点为1,x0+1x0-1.令x=y,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).由于直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而它们所围成的三角形的面积为12x0+1x0-1-1|2x0-1-1|=122x0-1|2x0-2|=2,所以所围成的
