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1、第八章第一节,课堂练习：指导书 P149-150 (三) 3，7，10，18,向量及其线性运算,数量关系 ,第八章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第八章,教学目的：,使学生理解向量的有关概念及空间直角坐标系的概念，,掌握(单位)向量、向量的方向余弦的坐标表达式，,会用向量的坐标表达式进行线性运算.,一、向量的概念,表示法:,向量的模
2、 :,即向量的大小,1、向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,2、自由向量:,与起点无关的向量.,单位向量:,模为 1 的向量.,零向量:,模为 0 的向量,记作 M1 M2 ,或 a ,数学上常用有向线段来表示向量，,3、两个特殊向量：,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,4.两向量夹角的定义：,注记：,规定它们的夹角可在,中任意取值.,5.向量间的几种特殊关系：,若 与 大小相等且方向相同.,（1）相等,（2）平行,若 与 方向相同或相反.,（两向量平行也称两向量共线）,（3）垂直,或 k (3)个向量经平移可移到同一平面上.,的夹角为,
3、或,（4）,个向量共面：,在同一个平面上.,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,向量的减法,三角不等式,2.向量与数的乘法,与实数 的乘积，,记作,规定如下：,1.定义：,运算律 :,结合律,分配律,定理1.,（3）两个向量的平行关系(书上P5),证明：(略),定理1是建立数轴的理论依据。, 给定一个点、一个方向及单位长度，一条数轴就确定了；, 给定一个点及一个单位向量,易见：,（它既确定了一个方向，,又确定了长度单位），,就确定了一条数轴。,注记：,设 M 为,解:,例1.,三、空间直角坐标系
4、,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,在直角坐标系下,向径,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,向径 (矢径): 起点为原点的向量.,坐标面及坐标轴上的点的坐标有何特征？,坐标轴 :,坐标面 :,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,向量的坐标表达式,四
5、、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,已知两点,例3.,在AB直线上求一点 M , 使,设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,解:,说明:,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,由,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,已知向量的起点和终点坐标，写出向量的坐标公式,空间任意一点 M(x,y,z),M,注记：,例4.,在 z 轴上求与两点,例5.,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,离的点 .,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距
6、离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,已知两点,例6.,和,解:,因,则,于是,2、向量的方向角与方向余弦,与三坐标轴,的夹角 , , 为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,设点 A 位于第一卦限,例7.,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,3.向量在轴上的投影,1) 定义：,注记：,注： 相等向量在同一轴上投影相等；,书上P12 2 , 5, 14, 18,作业,
