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1、第三章 杆件横截面上的应力、应变分析,本章主要内容: 应力应变的概念及其相互关系 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力 圆轴扭转时横截面上的切应力 平面图形的几何性质 梁纯弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的应力,两个拉杆任意截面上的内力相同，但是常识告诉我们，直径细的拉杆更容易破坏。,同样材料，同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的轴向拉力越大。,内力集度 应力（STRESS）,一、正应力和切应力,第一节 应力、应变及其相互关系,A上的内力平均集度为:,当A趋于零时，pm 的大小和方向都将趋于某一极限值。,p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。,p一般
2、来说既不与截面垂直，也不与截面相切，对其进行分解,垂直于截面的应力分量: ,相切于截面的应力分量: , 正应力（normal stress）, 切应力（shearing stress）,应力单位: 牛顿/米2 帕斯卡（Pa）,1KPa=1000Pa 1MPa=1000KPa 1GPa=1000MPa,二、正应变和切应变,线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“正应变” ( Normal Strain ) 和 “切应变”(Shearing Strain), 分别用 和 表示。,三、胡克定律,试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（构件只发生弹性变形），若所取单元体只承
3、受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在线性关系。,E-材料的杨氏弹性模量,G-材料的切变模量,Robert Hooke,观察中间部分，拉伸变形后，竖线仍然相互轴线，只是发生了平移,平截面假设: 变形前为平面的横截面变形后仍保持平面且垂直于轴线,由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的,根据胡克定律,横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀,一、横截面上正应力公式的推导,思考- 横截面上有没有切应力？,第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力,横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀,有,得到横截面上 正应力公式为:,适用条件： A、弹性体，符合胡克定律
4、； B、轴向拉压； C、离杆件受力区域较远处的横截面。,正应力，拉应力为“+”，压应力为“”,FN 轴力 A 横截面面积,* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。,x 是横截面的位置。,若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？为什么？,当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布的载荷时,杆件并非所有横截面都能保持平面,从而产生均匀的轴向变形.这种情况下,正应力公式不是对杆件上所有横截面都适用!,圣维南原理: 将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处，该影响就非常小。,有限元分析的圣维南原理,二、应力集中的概念,由圣
5、维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增大，这种现象称为应力集中。,应力集中因数,截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小，应力集中的程度就越严重。,应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意,应力集中会产生危害，也可以利用它为我们服务。,例题 3-1 (教材36页) : 等截面直杆，已知F1=10kN, F2=40kN, F3=50kN, F4=20kN, 截面直径d=16mm，试求杆内的最大应力。,1.求各段的轴力，绘出轴力图如下图所示。,2求最大
6、应力。,解：,例题 3-2,阶梯杆OD, 如图所示， OC 段的横截面积是 CD 段横截面积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正应力的大小及位置。,1、求反力,易知 O处反力 仅有水平方向的分量 FOx,2、画出轴力图,因此 FNmax=3F 在OB段，性质为拉力,3、计算应力,最大应力位于CD段,最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。,一、实验现象和平面假设,第三节 圆轴扭转时横截面上的切应力,变形前,变形后,所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一个角度 g,表明:表面处存在切应变，,而且切应变相同。,变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成了一个小菱形。,变形前,变形后,所有圆周线都相对
7、绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大小、形状、及其相互之间的距离保持不变。,表明:无轴向线应变和横向线应变，横截面上无正应力。,平面假设: 圆周扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相等的平面，其半径仍保持直线，且相邻两个截面的距离不变。,由平面假设，圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可以认为横截面上无正应力，由于相对转动引起纵向线倾斜，倾斜角 g 为切应变，因此圆轴横截面上存在切应力。,二、横截面上切应力计算公式的推导,扭矩,切应力,切应变,静力学关系,物理关系,几何关系,其中 表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，而 称为相对扭转角。,同一截面上 为常数，因此 与 成正比,二、横截面上切应力
8、计算公式的推导几何关系,以 表示横截面上距圆心为 处的切应力，则胡克定律:,代入几何关系表达式,由于 发生在垂直于半径的平面内，所以 也应与半径垂直。,二、横截面上切应力计算公式的推导物理关系,微切力：,对圆心O 的微力矩,内力矩，扭矩 Mx,代入物理关系和几何关系：,二、横截面上切应力计算公式的推导静力学关系,取,Ip : 截面对圆心 O 的 极惯性矩,极惯性矩的单位: m4 mm4,三、圆周扭转时横截面上的切应力公式及其分布规律,截面上某点的切应力,该截面上的扭矩-内力矩,所求的点至圆心的距离,截面对圆心的极惯性矩,对某一截面而言，Mx 为常数， Ip 也是常数， 因此, 横截面上的切应力
9、是 r 的线性函数,圆心处 r = 0 t = 0,外表面 r = r max t = t max,取,Wp 截面的抗扭截面模量，单位 mm3 m3,按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图,四、极惯性矩和抗扭截面模量的计算,空心圆截面:,五、薄壁圆筒的切应力*,对于空心圆截面d/D 0.9的空心圆轴可以视为薄壁圆筒。,由于壁厚薄，因此可以认为横截面上的切应力均匀分布。,六、切应力互等定理 (纯剪切),如图取单元体：,为保持单元体平衡，则其他几个面上应有什么应力？大小如何？,在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，这一规律
10、成为 切应力互等定理。,单元体四个侧面均只有切应力而无正应力 纯剪切状态。,圆轴扭转时横截面上的应力状态是 纯剪切状态。,例题 3-3,传动轴如图所示，动力经齿轮2输送给传动轴，然后由1、3两轮输出。若齿轮1和3输出的功率分别为0.76kW和2.9kW，轴的转速为180rpm, 轴的直径为28mm, 则该轴的最大切应力是多少，位于那段？,1、计算外力矩,2、画出扭矩图,可以看出2、3轮之间存在扭矩极值,3、求最大切应力,例题 3-4,某空心传动轴，外径 D =90mm, 壁厚 t =2.5mm,使用时最大扭矩为T =1500Nm，已知轴允许的最大切应力为60MPa，问此轴是否满足设计要求？ 若此轴改为实心圆轴，并要求同样的最大切应力，那么实心轴的直径D1 应为多少？从此题中得到什么样的启发？,D =90mm, t =2.5mm, T =1500Nm,1、抗扭截面模量,2、轴上最大切应力,3、若改为实心轴,分析:,实心圆截面面积:,空心圆截面面积:,重量比:,因此，在同样承载能力的条件下，使用空心轴更加节省材料。,作业:,P62 3-1(a) 、3-2(b)、3-7,
