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1、第七章 参数估计,在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数。,例如：,估计大学生的平均身高,参数估计问题的一般提法,（ X1, X2 , , Xn ）,参数估计,参数估计,点估计,区间估计,例1 已知某地区大学生的身高 X,随机抽查100个大学生得100个身高数据。,1 点估计,把样本值代入T( X1 , X2 , Xn ) 中，得到 的一个点估计值 。,请注意，被估计的参数 是一个未知常数，而估计量 T(X1,X2,Xn)是一个随机变量，是样本的函数,当样本取定后，它是个已知的数值,这个数常称为 的估计值 。,问题是: 使用什么样的统计量去估计 ？,寻求估计量的方法
2、：,1. 矩估计法,2. 极大似然法,3. 最小二乘法,4. 贝叶斯方法,1. 矩估计法,矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 .,其基本思想是用样本矩估计总体矩 。,记总体k阶矩为,样本k阶矩为,记总体k阶中心矩为,样本k阶中心矩为,用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法。,理论依据:,大数定律,一般地,设总体Xf(x;), 其中 ,求参数的矩估计的一般步骤为:,1. 令,2.解:,其中,3. 得,最常用的是：,!p151,解:,从 中解得,得：,由矩法,解:,EX:例1,矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布
3、。,缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下,矩估计量不具有唯一性 。,例如:总体X ,A1,B2 都是 的矩估计。,2. 极大似然法,在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 。,它首先是由德国数学家Gauss在1821年提出的 ,Fisher在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 。,极大似然法的基本思想：,即，已发生的事件具有最大概率。,极大似然原理,先看一个简单例子：,在军训时，某位同学与一位教官同时射击，而在靶纸上只留下一个弹孔。,如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢?,若X 为离散型总体：,已发生的事件为：,其概率为：,
4、我们的任务是：,若X 为连续型总体：,已发生的事件为：,其概率为：,我们的任务是：,称 为似然函数,称满足 的 为 的极大似然估计值。,称 为 的极大似然估计量（MLE）.,例4 设总体 X b ( 1, p ),X1,Xn是一个样本，求参数 p 的极大似然估计.,解：,!,在总体分布中，把概率函数(或密度)中自变量看成已知常数,而把参数 看作自变量导出似然函数 L( );,求极大似然估计（MLE）的一般步骤：,求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为求ln L()的最大值点) ，即 的MLE;,在最大值点的表达式中, 用样本代入就得参数 的极大似然估计量,两点说明,1、求似然函数L( )
5、的最大值点，通过求 解似然方程：,得到 的MLE 。,若 是向量，上述方程必须用似然方程组代替 。,2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用极大似然原理来求 。,解：,例6 设总体 其中参数 未知，使用极大似然估计法求 的估计量。,解：,i=1,2,n,i=1,2,n,(1),(2),由 (1) 得,?!,故使 达到最大的 即 的MLE，,极大似然估计的一个性质:,设 的函数 g = g ( ) 是 上的实值函数,且有唯一反函数 。如果 是 的极大似然估计，则 g( ) 也是 g( ) 的极大似然估计。,例8 一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有 k 个白球，求罐中黑球与白球之比 R 的极大似然估计.,解:,显然 Xb ( 1, p ) ，由例 4,
