随机抽样知识讲解

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1、随机抽样【学习目标】1、了解简单随机抽样的概念，掌握实施简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数表法；2、了解系统抽样的意义，并会用系统抽样的方法从总体中抽取样本；3、了解分层抽样的概念与特征，清楚简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系.【要点梳理】要点一、简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回.我们在抽样调查中用的是不放回抽取.1、简单随机抽样的概念：一般地，从元素个数为 N 的总体中不放回地抽取容量为 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个n体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样

2、本.2、简单随机抽样的特点：(1)被抽取样本的总体个数 N 是有限的；(2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N；(3)从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；(4)它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性；(5)每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性.3、实施抽样的方法：(1)抽签法：抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便，若标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公平.抽签法的一般步骤：将总体中的 N 个个体编号；把这 N 个号码写在形状、大小相同的号签上；将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；从箱中每次抽取一个号签，连续抽

3、取 n 次；将总体中与抽到的号签的编号一致的 n 个个体取出.(2)随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现 0，1，2，9 这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.随机数表法的步骤：将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；在随机数表中任选一个数字作为开始；从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止.注意：选定开始数字，要保证所选数字的随机性；确定读数方向获取样本号码时，读数方向可向左、向右、向上、向

4、下，样本号码不能重复，否则舍去.要点诠释： 1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型.3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为 ，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、Nn第 n 次每个个体入样的可能性、特定

5、的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误.要点二、系统抽样1、系统抽样的概念：当总体中的个体比较多时，将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样，也称作等距抽样.2、系统抽样的特征：(1)当总体容量 N 较大时，采用系统抽样；(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样；(3)预先制定的规则指的是：在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.3、系统抽样的一般步骤：(1)采用随机的方

6、法将总体中的 N 个个体编号；(2)将编号按间隔 分段，当 是整数时，取 ，当 不是整数时，从总体中剔除一些个体，knNkn使剩下的总体中个体的个数 能被 整除，这时取 ，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 ；()llk，(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将编号为 的个体取出.2(1)lnk ， ， ， ，要点诠释：1、从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想.2、系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样.要点三、分层

7、抽样1、分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.2、分层抽样的特点：(1)适用于总体是由有明显差别的几部分组成时的情况；(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性相同.3、分层抽样的优点：(1)样本具有较强的代表性；(2)在各层抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法.4、分层抽样的步骤：(1)将总体按一定的标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各

8、层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(各层可以按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)要点诠释：1、应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.2、分层抽样是当总体有差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠.(2)为了保证每个个

9、体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.3、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.要点四、三种抽样方法的比较类别 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样共同点 (1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样各自特点 从总体中逐个抽取将总体均分成几部分按事先确定的规则在各部分抽取将总体分成 层，分层n进行抽取相互联系 在起始部分抽样时采用 简单随机抽样 各层抽样采用简单随机 抽样或系统抽样适

10、用范围 总体中个体数较少 总体中个体数较多 总体由差异明显的几部 分组成【典型例题】类型一：简单随机抽样例 1下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？说明理由（1）从无限多个个体中抽取 100 个个体作样本；（2）盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意抽出 1 个零件进行质量检验后再把它放回盒子里【解析】 （1）不是简单随机抽样，因为总体的个数是无限的（2）不是简单随机抽样，因为它是放回抽样【总结升华】简单随机抽样的四个特点：（1）总体的个数有限；（2）逐个抽取；（3）是不放回的抽取；（4）每个个体被抽到的可能性必须是相同的举一反三：【变式 1】下面

11、的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）某班 45 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的某项活动（2）从 20 个零件中一次性抽出 3 个进行质量检验（3）一小孩从玩具箱中的 20 件玩具中随意拿出一件来玩玩后放回再拿下一件，连续玩了 5 件【解析】 （1）不是简单随机抽样因为这不是等可能抽样（2）不是简单随机抽样因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取（3）不是简单随机抽样因为这是有放回抽样例 2某工厂有 112 件产品，产品的编号为 1，2，112用随机数表法抽取一个容量为 10 的样本，写出抽样过程【解析】解法一：第一步，将这 112 件产品原有的编号调整为 001，00

12、2，003，112；第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向，例如，选第 9 行第 7 列的数“3”，向右读；第三步，从“3”开始，向右读，每次读出三位，凡不在 001112 中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 074，100，094，052，080，003，105，107，083，092；第四步，产品原来的编号为 74，100，94，52，80，3，105，107，83，92 的那 10 件就是被抽取出来的产品解法二：第一步，将这 112 件产品原来的编号调整为 101，102，103，212；第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读

13、数方向，例如，选第 9 行第 7 列的数“3”，向右读；第三步，从“3”开始，向右读，每次读出三位，凡不在 101212 中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 155，134，174，180，165，196，206，105，160，201；第四步，对应原来编号为 55，34，74，80，65，96，106，5，60，101 的产品就是要抽取的对象【总结升华】 本例中，112 件产品原有的编号 1，2，112 的位数不统一，有 1 位数，有 2 位数，还有 3 位数为了解决这一矛盾，解法一采用了“在位数少的数前面加 0”的处理方法，例如，1 变为001，11 变为 011；

14、解法二采用了“把原来的数加上 10 的倍数”的处理方法例如，2 变为 102，12 变为112解法一、解法二所采用的处理方法都达到了凑齐位数的效果举一反三：【变式 1】某校有学生 1200 人，为调查某种情况，打算抽取一个样本容量为 50 的样本，则此样本采用简单随机抽样将如何获得？【解析】解法一：（抽签法）把该校学生编号，号码为 0001，0002，0003，1200；做大小、形状相同的号签；将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签时，每次从中抽出 1 个号签，连续抽出 50 个号签，就得到了一个容量为 50 的样本解法二：（随机数表法）把该校学生编号，号码为 0001，0002，00

15、03，1200；在随机数表中选定一个起始位置，假如起始位置是表中第 5 行第 9 列的数字 6；从 6 开始向右连续取数字，以 4 个数为一组，取到一行末尾时转到下一行从左到右继续读取，所得数字如下：6438，5482，4622，3162，4309，9006，1844，3253，2383，0130，3016所取得的 4 位数字如果小于或等于 1200，则对应此号的学生就是被抽取的个体如果所取得的 4 位数字大于 1200 而小于 2400 则减去1200，剩余数字即是被抽取的号码如果遇到相同号码，则只留第一次取得的数字，其余的舍去，经此处理，被抽取的学生号码如下：0438，0682，1022，

16、0762，0709，0606，0644，0853，1183，0130，0616一直取够 50 人止【变式 2】 要从 10 架钢琴中抽取 4 架进行质量检验，请你设计抽样方案【解析】 解法一：（随机数表法）第一步，将 10 架钢琴编号，号码是 0，1，9 第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向比如，选第 3 行第 6 列的数“2”，向右读第三步，从数“2”开始，向右读，每次读取 1 位，重复数字只记录一次，依次可得到 2，7，6，5第四步，以上号码对应的 4 架钢琴就是要抽取的对象解法二：（抽签法）第一步，将 10 架钢琴编号，号码是 0，1，9第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀第四步，从袋子中逐个抽取 4 个号签，并记录上面的编号第五步，所得号码对应的 4 架钢琴就是要