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1、 11.6 随机抽样 用样本估计总体 正态分布教材细梳理-知识点一.随机抽样1.简单随机抽样(1).定义：一个总体含有 N 个个体，从中逐个_地抽取 n 个个体作为样本( n N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会_，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 (2). 最常用的简单随机抽样方法有两种_法和_法 (3). 适用于 的情况.2.系统抽样(1).定义：将总体分成 的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样 .(2).系统抽样步骤：假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本.a. 先将总体的 N 个个体 有时可直
2、接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；（编号的位数要一样）b. 确定 ，对编号进行分段当 (n 是样本容量)是整数时，取 k ；Nn Nnc. 在第 1 段用_确定第一个个体编号 l(l k)；d. 按照一定的规则抽取样本通常是将 l 得到第 2 个个体编号( l k)，再加 k得到第 3 个个体编号( l2 k) 依次进行下去，直到获取整个样本(3).系统抽样适用于 的情况. 3.分层抽样(1).定义：当总体由 组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占 进行简单随机抽样或系统
3、抽样，这种抽样方法叫做分层抽样. (2).分层抽样适用于总体由差别明显的几部分组成的情况. 二.样本估计总体有关概念和知识点1通常我们对总体作出的估计一般分成两种一种是用样本的_估计总体的分布另一种是用样本的 估计总体的数字特征.2.频率分布直方图画法(1)求极差（最大值-最小值=极差）.(2)决定组距与组数.(3)确定分点，将数据分组.(4)统计频数，计算频率，制成表格.(5)以 为 Y 轴，以数据为 X 轴，画出频率分布直方图.频 率组 距3在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用各小长方形的_表示各小长方形的面积总和_.4连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ，就得到频率
4、分布折线图随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加， 减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比.5.茎叶图以数据的高位为茎，放中间，低位为叶放两边，它的优点是：（1）保留了原始数据，没有损失样本信息.（2）数据可以随时记录、添加或修改. 6. 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数定义：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数(2)中位数定义：将一组数据按大小依次排列，把处在_位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数定义：样本数据的算术平均数即 _.
5、 x(4)频率分布直方图中中的特征数把最高小长方形底边 的横坐标作为众数；中位数左边和右边的直方图的 应该相等；平均数等于频率分布直方图中每个小长方形 乘以小长方形底边 之和.(5). 样本方差，标准差公公式方差 .22221()()()nxxxs标准差 .2平均数反映了数据的整体情况，受极值影响较大。标准差是反映总体波动大小的特征数.7.平均数、方差计算公式的推论若数据 x1， x2， xn的平均数为 ，方差为 s2，则：x x1 b， x2 b， xn b 的平均数是 b，方差是 s2；x ax1， ax2， axn的平均数是 a ，方差是 ；x ax1 b， ax2 b， axn b 的
6、平均数是 a b，方差是 .x 2a三 、正态分布有关概念及知识点1.正态曲线定义 定义：像总体密度曲线那样，具有 的特征的函数近似表示为 2)(,1)(xex， ),(， 其中实数 和 )0(为参数，它的图象称为正态分布密度曲线，简称 2.正态曲线的特点(1)曲线在 轴的_，与 轴不相交x(2)曲线关于直线 _ 对称(3)曲线在 X= 处达到峰值 1 2(4)曲线与 x 轴间的面积为 .(5)当 X 时，曲线上升(增函数)；当 X 时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 X 轴为渐近线，向它无限靠近（6）当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 X= 的变化而沿 x 轴平
7、移 （7） 一定时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越 ，总体分布越分散； 越小，曲线越 总体分布越集中3.正态分布定义及表示（1）定义：对于任何实数 ，随机变量 X 满足 ，则称随abbadxaP)()(,机变量 X 服从正态分布记作 ，其中参数 是总体的 , 参数 是总体的 4. 3 原则 （1）定义：如果 ，通常认为随机变量 X 的取值落在区间 内2(,)N,称之为 3 原则 （2）三个特殊区件概率 )(XP ；22 ；)33( 教材细梳理答案一：不放回;相同;抽签法;随机数表法;总体个数较少 均衡;系统抽样;编号;分段间隔 k;简单随机抽样;加上间隔 k;总体中的个体数较多;瘦高;比例二
8、：频率分布;数字特征; ;面积;1;中点;组距;最多;频 率组 距中间; ;中点;面积;面积;中点横坐标； 12.nx三：两头低、中间高、左右对称;正态曲线;上方; ;1;矮胖;瘦高; ;期望;标准差;0.6826;0.9544;0.9974；2(,)XN考点精解析-方法问题一：随机抽样问题例 12014湖南卷 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1， p2， p3，则()A p1 p2 p3 B p2 p3 p1 C p1 p3 p2 D p1 p2 p3点拨与解析： 随机抽样中，每个
9、个体被抽到的机会是均等的.解：不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为 .所以选 D. nN例 2.2014天津卷 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生点拨与解析：由于总体各部分差别比较明显，所以采取分层抽样即按比例抽取.解：由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为 300 60.44 5 5 6例 3.已知某商场新进 3 000 袋奶粉，
10、为检查某维生素是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查，若第 1 组抽出的号码是 11，则第 61 组抽出的号码为_点拨与解析：系统抽样是抽多少个个体，把总体均分成多少组，每组抽取一个，间隔相等解： 20，需把 3 000 袋奶粉按 0,1,2,3，2 999 编号，然后分成 150 组，3 000150每组 20 个号码第 61 组抽出的号码为 11(611)201 211. 答案：1 211思维方法小结：1、三种抽样方法中，每个个体被抽到的概率是相同的.2简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等可能的抽样，由定义应抓住以下特点：它要求总体个数较少；它是从总体中逐个抽取
11、的；它是一种不放回抽样3系统抽样又称等距抽样，号码序列一确定，样本即确定了，第一组的抽取的个体必须是随机抽取的，分段间隔必须为整数，当分段间隔不是整数，应先从整体中随机剔除几个个体.4、分层抽样又称按比例抽取.按照每层在总体中占有的比例抽取个体数.5抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中的第一均衡部分，可采用简单随机抽样分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样进行分层抽样时，每层抽样应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.问题 2：频率分布直方图的计算问题例 42014山东卷 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间
12、为12 ，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16 ，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组下图 11.61是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为()图 11.61A. 6 B. 8 C. 12 D. 18点拨与解析：所有小长方形的面积之和为 1.在各组之间，小长方形面积比=高比=频率比=频数比解： 因为第一组与第二组一共有 20 人，并且根据图像知第一组与第二组的人数比是0.240.1632，所以第一组有 20 12.又因为第一组与第三组的人数比是350.240.3623 ，
13、所以第三组一共有 12 18.因为第三组中没有疗效的有 6 人，所23以第三组中有疗效的人数是 18612.思维方法小结：有关频率分布直方图计算问题处理方法.处理有关频率分布直方图计算问题，关键掌握正确理解图表中各个量的意义. 主要掌握以下几点.（1）. ，表示各组数据在总体中所占的比例 . =每 组 频 数频 率 样 本 容 量（2）.每个个小长方形的面积等于样本数据落在对应组的频率. （3）.所有小长方形的面积之和为 1.（4）.在各组之间，小长方形面积比=高比=频率比=频数比问题 3：样本的数字特征估计总体的特征例 52014陕西卷 设样本数据 x1， x2， x10的均值和方差分别为
14、1 和 4，若yi xi a(a 为非零常数， i1，2，10)，则 y1， y2， y10的均值和方差分别为()A1 a，4 B1 a，4 a C1，4 D1，4 a点拨与解析：利用方差和平均数的推论解：由题意可知 1，x1 x2 x3 x1010故 1 a.数据 x1， x2， x10同时增加一个定值，y （ x1 x2 x3 x10） 10a10方差不变故选 A. 例 6甲、乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图 11.62 所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是 x 甲 ， x 乙 ，则下列叙述正确的是 ()A x 甲 x 乙 ；乙比甲成绩稳定B x 甲 x 乙 ；甲比乙成绩稳定C x 甲 x 乙 ；乙比甲成绩稳定D x 甲 x 乙 ；甲比乙成绩稳定图 11.62点拨与解析： 直
