《硕士研究生入学考试大纲-853高等代数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《硕士研究生入学考试大纲-853高等代数（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1目录I 考查目标 .2II 考试形式和试卷结构 .2III 考查内容 .2IV. 题型示例及参考答案 .32全国硕士研究生入学统一考试高等代数考试大纲I 考查目标要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑 推理能力、运算能力和 综合运用所学的知 识分析问题和解决问题的能力。II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。三、试卷内容与题型结构计算题（30%） 、证明题（70%）III 考查内容一、多项式1.熟练掌握多项式因式分解理论及整除理论。 2.掌握
2、多项式、不可约多项式、最大公因式、重因式的概念；掌握整除、互素、不可约等概念的联系与区别。3.掌握带余除法、辗转相除法、艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。4.会求两个多项式的最大公因式，会求有理系数多项式的有理根，会判别两个多项式互素。二、行列式1.熟练掌握行列式的性质及行列式的计算。2.掌握 n 阶行列式的定义。3.掌握克拉默（Cramer）法则。三、线性方程组31.熟练掌握向量线性相关性的概念、性质、判别法，会求向量组的秩及最大线性无关组。2.掌握基础解系的概念及计算，熟练掌握线性方程组的解的判别定理 ，以及齐次和非齐次线性方程组的求解。3.熟练掌握矩阵的秩的概念及计算。 四、矩阵
3、1.熟练掌握矩阵、可逆矩阵、初等矩阵的概念与性质。2.理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算及思想方法。3.熟练掌握矩阵的加法、减法、乘法，数乘、转置等运算。4.熟练掌握可逆矩阵的判别方法及逆矩阵的计算。5.能熟练使用矩阵的初等变换方法。五、二次型1.掌握二次型的标准形、实二次型的规范形的概念。2.熟练掌握正定二次型的概念、性质、判别方法。3.掌握化二次型为标准形的思想方法。4.理解合同矩阵的概念及背景。六、线性空间1.掌握线性空间、子空间的概念及判定方法。2.掌握基与维数的概念、性质及求法，能熟练运用维数公式、基变换公式，会求过渡矩阵。3.掌握子空间的交与和的概念、性质及求法。4.熟练掌握子
4、空间的直和的概念、性质。5.理解线性空间的同构及判定方法。七、线性变换1.掌握相似矩阵的概念、背景、性质及判定方法。42.熟练掌握特征值和特征向量的概念、性质及求法。3.熟练掌握线性变换的矩阵可对角化的条件及方法。4.掌握不变子空间的概念及判定方法。5.掌握线性变换的概念、性质、运算及判定方法。6.掌握 Hamilton-Caylay 定理及其应用。7.掌握线性变换的值域与核的概念、性质及求法。8.会求线性变换的矩阵、最小多项式。八、 -矩阵1.会求矩阵的 Jordan 标准型。2.掌握矩阵的行列式因子、初等因子、不变因子的概念及求法。九、欧几里得空间1.掌握欧几里得空间、标准正交基与正交矩阵
5、、对称变换与实对称矩阵、正交变换、正交补、度量矩阵的概念与性质。2.熟练掌握实对称矩阵正交对角化方法.3.掌握正交矩阵判别方法。4.会求欧几里得空间的标准正交基IV. 题型示例及参考答案一（20分）设0318624A求： 1）A的不变因子、行列式因子、初等因子；2）A的Jordan标准形.二（20分）设线性方程组 1234axb5试讨论：当a,b分别取什么值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其一般解.三（18分）设A是 矩阵（ ） ， 是 的伴随矩阵.n2*A试证明：当 时， ；而当 时， 或 . ()R*()n()1Rn*()0RA1四（20分）设 是 维欧氏空间 中的
6、一组向量，12,m V记 其中 为内积.11212 212(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmA (,)ij证明： 线性无关 .12, 0A五（20 分）设 是一对称矩阵，且 .21A01证明：存在 ，使得 ，EOXB*1OABT其中*表示一个阶数与 相同的矩阵.2A六（20 分）设/A 是线性空间 上的一个线性变换，若/A 可逆，且 是/A 的一个特征值，V则 是 的特征值.1-/七（18 分）设 ()0,nnSABPAP(1) 证明: 是 的一个子空间；n(2) 若 ，问()RArdim()?SA八（14 分）设 是复数域 上的 n 维线性空间 的两个非零线性变换.,CV6且 .()
7、(),()(),dimI()1试证： 与 有公共非平凡不变子空间.参考答案一解： 的标准形为EA2101不变因子 1，1，行列式因子 1，1， 21初等因子 ，A 的 Jordan 标准形01二解：D = = -b(a-1)12ab当 D0 时，即 a1 且 b0 时，有唯一解当 D=0 时，若 b=0：R(A)=2，R(B)=3，无解若 a=1：B=1432b140120b当 b : R(B)=3，R(A)=2 无解7当 b= : B1214020通解 ，k 为任意常数。0120k三证：若 R(A)=n： 1*nA*RAn若 R(A)=n-1: A 中至少有一个 n-1 阶子式不为零。 *(
8、)1RA又 ， 得 0*0E*()*()1R*()1R若 R(A)n-1：A 中所有 n-1 阶子式全为 0，（i,j=1,2,n） 0ij*A*()0R四证：设 1.mk则 i=1,2,m(,)0ik(i=1,2,m)12.)(.(.)0iimik11212 212)(.)(.(.).).0mmmkk线性无关 上述方程组只有零解 。2,A五证：令120EAB12T11T811221200TEAEABA111220A1122六证：设/A = 为/A 属于 的特征向量= /1A0/ =1是/ 的特征值。七解：1) 且0()SA()()nSApAB=0,AC=0,BC()0Ak是 的子空间。()S
9、np2) 设 是 的一个基础解系，考虑下列 矩阵12nr， ， .120.nxA n, , ,1,0.B2,.B,0.nrrB , 1.nr()0,.nrr().0,nrnr则 （i=1,2,n(n-r)）.iA9显然 线性无关，即为 S(A)的一组基12(),.nrBdimS(A)=n(n-r).八证： dim1I1. 令 为 V 的一组基Vn2,.n则 n 个向量 中必有一个非零向量。1不妨设 0，则上述这 n 个向量中其余 n-1 个均可由 线 1性表示，即： i=2,n1iiki=2,n1i设 121,.nVLkk易证 0Ker同时，由题设 ，易知 是线性变换 与 的非平凡不变子空间。1V
